<p THÉORIE DES NOMBRES. 



(63) Or j'observe qu'on a 



donc la supposition de n négatif revient simplement à changer "** 

 de signe , et à multiplier les valeurs de ^ et "^ par un même fac- 

 teur (^=^\T , celte quantité ambiguë dti venant de (j>* — ^4* q«i 



en effet peut être + 1 , ou — i. Mais comme la fraction —n'est 



pas différente de , on peut faire abstraction du facteur (de i/, 



et ainsi les valeurs négatives de n répondront à de nouvelles valeurs 

 de — données par les formules 



On pourroit croire d'abord que ces formules ne diffèrent des pre- 

 mières que par la forme , et qu'elles conduisent réellement aux 



mêmes valeurs de — ^ ; mais il faudroit pour cela que deux frac- 

 tions telles que 



q^ + agq+fp)-^ ' ç^'—agç+fp)-^' 



pussent être égales : or c'est ce qui ne peut jamais avoir lieu ^ 

 Car en les réduisant au même dénominateur , on trouve que Ta 

 différence des numérateurs est (fp^-^gpq + hq''} (^' '^-[-^'^') y 

 quantité qui ne peut jamais être nulle. 



Donc il est certain que les formules {b) donnent des valeurs 



de ^ différentes de celles que donnent les formules (a). Mais en 



faisant , soit dans les formules (b) , soit dans les formules (a) 

 Pn ^=y , q^^-^z ^ les valeurs générales de y et de z satisfont à 

 Féquation fy'^ ■\- gy z-^li z''^=-:±iD ^ d'un autre côté , D étant sup- 

 posé plus petit que y/^ , ou peut démontrer que toute fraction 



~ qui satisfait à cette équation est comprise parmi les fractions 



convergentes vers une racine de l'équation jra7*~{-^^-l-^ = o. Donc 



si les formules {h) donnent des fractions — non comprises parmi 



