94 THÉORIE DES NOMBRES. 



Et d'abord les valeurs précédentes donnent P Q^ — P'^ Q =z 

 (p'q-pc/) r$*~^^V==^i , et (P'Q^FQ'):=--(PQ'^^P^Q)', 

 conditions toutes deux nécessaires pour l'objet que nous avons eu 

 vue , mais elles ne sont pas encore suffisantes. 



On peut , pour fixer les idées , supposer que la valeur de n est 



P , , 



un peu grande , en sorte que la fraction convergente — reponde 



à une période assez éloignée du commencement delà suite. Comme 

 toutes les périodes sont égales , il importe peu quelle est celle 

 qu'on considère j et la forme qu'on trouvera pour une période 

 éloignée , conviendra également à toutes les autres périodes. Or 

 lorsque n est un peu grand , les nombres $ et ^ sont très- consi- 

 dérables , et comme on a toujours *' — ^-^'^^ ^rbi/=ri::i, il 

 s'ensuit qu'on a alors à très-peu-près ^='^\/^ ; substituant cette 

 valeur dans celle de P , on aura P^"^ (p \/^ ~r ^gp ■\- hq) 

 = '^ ( \/^ -b ^g) (p — qx)) X désignant la première racine 



~ pr-^-^ dont - est une valeur approchée. 



On trouvera de semblables valeurs pour P° et P' , et si pour 

 abréger on appelle R le facteur constant ■^(\/^+ ^g) , on aura 



P r=: R(p—qx) 



P'^-^RCp^—q-x). 



P 



Soit z le quotient-complet qui répond à la fraction convergente - 



p z -[-p" 



dans le développement de la valeur de x , on aura x = ; — - , 



^^ ' qz-\-q 



ou ^ = —ii- i- — - : or Z doit être positif et plus grand que l'unité 3 



p — qx 



donc — (f — q"x) est plus grand que p — qx et de même signe ; 

 par la même raison, (p — qx) est de même signe, et plus grand 

 que — (p — q'x); donc les trois nombres P% P, P' sont de même 

 signe , et ils se suivent par ordre de grandeur , en sorte qu'on a 

 P°<P, P<P'. On démontreroit la même chose des trois nom- 

 bres Q% Q, Q' 5 et cela posé , si les deux fractions convergentes 



