gG THÉORIE DES NOMBRES, 



pris dans cette quantité est /-«. Si ce dernier point est vrai , il 

 faudra donc qu'on ait P'=/uP + P°, Q'=f'Q+Q% et c'est 

 en effet ce qui se vérifie immédiatement par les valeurs de P, Q , 

 P'', Q", &c. , puisqu'on a toujours p :=iJ.p-\-p°^ et q' := ^jl q -\- q" . 

 Au reste , la seconde partie peut se prouver généralement ainsi. 



Onad'abordZ'—/^Z?—J, ce qui donne—— ==^. -f -i_-_Il_ j 



d'ailleurs la valeur de q" trouvée n°. 54, donne — = '^"7 -f^.-; 



^ jj D q 



et comme - est déjà une valeur fort approchée de — — '^ , on a 



^ , q^ ^g-I ^ f y/^-ig -^ /^-/ , 



a tres-peu-pres — = — ^ bj^ . 7= — ^ j a ou 1 oa 



voit que -^^ — 5 égale a tres-peu-pres a — , est tou;ours pins 



petite que l'unité , et ainsi on a , suivant la notation accoutumée, 

 }L^ - = (.+. 



Venons à la première partie de notre assertion. Si — — — est 



P 



le quotient - complet qui répond à la fraction convergente —, et 



^ , , P« . 



que celle-ci soit précédée de — , il faudra donc que la seconde- 

 racine x' de l'équation fx^'-^-gx -^ h = o , ait pour valeur 

 ,_ P (y'^ + r) + P'^D 



Mettant au lieu de T sa valeur [a. D — i, et observant qu'on a 



fji.F-\-P° =^F\ (^Q+ Q° = Q', cette équation deviendra 



,_ P C{/^--I) -^ P' D 



"^ ~ Q fv/-^ — /;+ Q'D' 



Si on y substitue ensuite les valeurs de P, Q, P', Q', et que dans 



le résultat on mette au. lieu de p" et q" leurs valeurs trouvées n". 54, 



.on aura 



r_ '^Cp\/^^'igp + hq) -{-'^(igp^/^ + hq^^^^p) 



quantité 



