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est une de celles dans lesquelles l'équation primitive a été dé- 

 composée. Ainsi toute la difficulté se réduit à résoudre une ou 

 plusieurs équations , telles que 



dans laquelle z et y sont premiers entr'eux , ainsi que z et H. 

 Or cette équation présente différens cas à examiner , selon que 

 le nombre ihN — M"" est positif, zéro ou négatif; c'est-à-dire, 

 selon que les deux facteurs du premier membre sont imaginaires , 

 égaux ou réels. 



(68) Soit d'abord IkLN — JVt = à un nombre positif B ; si on 

 multiplie l'équation proposée par 4Z/ , et qu'on fasse iLy-\-Mz:=-x^ 



on aura 



x'^^Bz-' — ^iLH 



(nous mettons ■\- seulement dans le second membre, parce qu'on 

 voit bien que le signe — ne pourroit avoir lieu) . Or ayant à résoudre 

 l'équation x"" -\-B z^'^^C , la méthode la plus simple est de calculer 



successivement les différentes valeurs de la quantité C — i?z% en 



C 



faisant ^=0,1, 2, 3... jusqu'à z = \/-— -. Si parmi ces valeurs 



il se trouve un quarré , et qu'en même temps la racine x de ce 



]S1. z ':à:i X 

 quarré rende — "^—^ égal à un entier , on aura une solution de 



l'équation proposée. Mais si ces deux conditions ne peuvent être 

 remplies à-la-fois , on en conclura que l'équation proposée n'est 

 pas résoluble en nombres entiers. 



Il est évident que dans ce premier cas il ne pourra jamais y 

 avoir qu'un nombre limité de solutions en nombres entiers. Ce cas 

 d'ailleurs est si simple , qu'il n'exige aucune des préparations indi- 

 quées dans l'article précédent , et qu'on peut procéder à la résolu- 

 tion , comme il vient d'être dit, sans s'embarrasser sij^j z et H 

 ont ou n'ont pas de commun diviseur. 



(6g) Prenons pour exemple l'équation i5j'''4-43j2-F52^°=2 23: 



si on multiplie les deux membres par 60, et qu'on fasse 3o^ -j- 43-s=.t, 



la transformée sera 



x^ -Y 71 s* = i338o. 



