PREMIERE PARTIE. * ïo5 



avec beaucoup de facilité par le seul développement d'une racine 

 de réquation L itc^ + M x + N^=o en fraction continue. Il faut même 

 observer que cette solution suppose seulement y et z premiers 



,entr'eux (car^- étant assimilé à une fraction convergente-, doit 



toujours être une fraction irréductible, puisqu'on a /j^° — p^qz^ziz-i)^ 

 et ainsi elle n'exige pas que z et H soient premiers entr'eux. On 

 peut donc , par ce moyen , se dispenser de faire la décomposition 

 relative aux facteurs communs de L et de If, dont on a fait 

 mention n°. 67 , et on aura , par une seule opération , la résolution 

 de toutes les équations de cette sorte. Mais il faut , comme nous 

 l'avons supposé , que H soit << 7 \/B ; de plus , si H contient un 

 facteur quarré G^, il faudra , comme nous l'avons déjà indiqué , 

 faire j^ = 0j/', z = Sz\ H^^^^^^H', et résoudre , parla même voie, 

 chaque équation Ly'^-\'Myz'-\-Nz'':=-dt.H' pour chaque facteur 

 quarré Ô° qui peut diviser H. 



(72) Soit en second lieu H'> ^ V ^ t alors on supposera que" 



l'équation est préparée , comme on l'a dit n°. 67 , de manière que 



y et z soient premiers entr'eux , ainsi que z et H. On pourra faire 



alors 



y^=.nz-\-Huf 



et ajouter même la condition que n ne surpasse pas ^ Tî; car Féqua- 

 tion précédente subsisteroit en mettant n — a, H à la place de /z, 

 et u "}- itz àla. place de u; or il est clair qu'on peut prendre a, de' 

 manière que tz — at/jTsoit compris entre ~\-^H et — ^ H. Substi- 

 tuant donc la valeur de y dans l'équation proposée , et divisant 

 le résultat par H, on aura 



/LTi'-\-Mn-\-]SF\ 



[^ jj ^z^-\- (inL-^-M) zu-^-LHu' — d!-!'^ 



et puisque z et ^sont premiers entr'eux , cette équation ne peut 

 avoir lieu , à moins que ^ ne soit un entier. On don- 

 nera donc à /z toutes les valeurs en nombres entiers depuis — \Iî 

 jusqu'à 4- 7 S'y et s'il n'en est aucune qui rende la quantité 

 i 72* 4- ifeî 72 -fiV" divisible parJU, on prononcera avec certitude que 



