112 THÉORIE DES NOMBRES. 



Ces dernières formules sont celles qui contiennent la solution * 

 que nous avons remarquée dans la partie irrégulière de la fraction 

 continue. En effet si on suppose 7Z=i,* = ^,±'*"=— i5, on 

 trouvera 7 — 2, z — 1. De-là on peut présumer que la seconde 

 solution générale est susceptible de se réduire à une forme plus 

 simple , et c'est de quoi on s'assurera aisément , en prenant au lieu 

 de $ et "f" les quantités analogues qui répondent à une valeur de 

 n différente d'une unité. Il en résultera 



y z=i^ drz 72.7^ 



■ (79) On voit , par ce qui a été démontré dans ce paragraphe , que 

 lorsque les équations qui en font l'objet sont possibles, leur réso- 

 lution est donnée par un ou plusieurs systèmes de formules telles 

 que 



les nombres a\ b\ a\ b" étant constans , et les quantités * , "^ 

 étant tirées de l'équation 



dans laquelle n est un nombre indéterminé , et où l'on a toujours 

 ç* — ^4""=— i) 6t par conséquent aussi *° — ^'^*= ('=ti^" = + i 

 ou — 1, 



Dans les formules générales, on peut prendre "^ négatif ou positif 

 à volonté , et ainsi affecter "^ du double signe ±1 j ce qui revient 

 à laisser le signe de '** déterminé , mais à prendre pour n des valeurs 

 quelconques tant positives que négatives. En effet on a ('tp + 4 V ^^ 



r=f^'— ^4V~" (<p — -\V^T~ C— 1/ i^ — '^V-^)-» ^^ ^i"s^ ^® 

 changement du signe de n revient au même que celui du signe 

 de •*• 5 car d'ailleurs le signe de ('dti/ qui affecte le tout est indiffé- 

 rent , puisque par la nature de l'équation proposée on peut changer 

 à-la-fois le signe de y et celui de z. 



Il résulte de - là que les diverses valeurs de j/ et ^ comprises 

 dans un système de formules , tel que le précédent , forment deux 

 suites qui s'étendent à l'infini , tant dans le sens positif que dans 



le 



