n4 THÉORIE DES NOMBRES. 



§. XII. Démon &TR ATT 01^ d'um proposition supposée 

 dans les paragraphes précédens, 



(Bo) JNous avons supposé jusqu'ici que s'il est possible de satis- 

 faire à Féquation fy^-{-gyz+hz'' = ^izH, où Ton suppose jk et z- 



premiers entr'eux, et -^<^V^fp''^4/^^ , la fraction*^ est tou- 



■ z 



jours comprise parmi les fractions convergentes vers une racine 

 èe Féquation fx^-hgx-\-h==o. Cette proposition a beaucoup d'ana- 

 logie avec celle du n°. lo, mais il n'est pas moins nécessaire de 

 démontrer qu'elle est vraie généralement , sauf une légère excep- 

 tion dont nous ferons mention. 



Soit/ un nombre positif, g et h des nombres positifs ou négatifs 



à volonté ; soit - une fraction donnée dont les termes sont pre- 



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 miers entr eux , et satisfont à l'équation 



fp' + gpç + hç'' = ^Hy 

 Je suppose qu^on développe - en fraction continue , et que les quo- 



tiens qui résultent de cette opération soient a, C, a , fx. Au 



moyen de ces quotiens , on calculera à l'ordinaire les fractions 

 convergentes vers ^ , et en désignant par ^ celle qui précède im- 

 médiatement -, nous avbns déjà vu (n^ g) qu^on peut faire à 

 volonté p q°—p"q = + i , ou /7 q°—p°q = — i . 



Cela posé , considérons les mêmes fractions consécutives — ^ 



comme appartenant au développement de x en fraction continue j 

 soit z le quotient-complet qui répond à la dernière , il faudra donc 



quon ait x = ^~—~L-^ ou z =^ ^-, Maintenant la supposi- 



q z-\- q p — q X ^^ 



tion faite que — , - sont deux fractions consécutives convergentes 



