124 THÉORIE DES NOMBRES. 



De-là on voit que toute' quantité indéterminée pf^'-^içfZ-^-rz", 

 dans laquelle q^-^pr= 79, doit se réduire à l'une des douze formes 

 suivantes : 



y' — yc^z' 79^ — -' 



Zy J\- -2^2—26 Z^ ' '26j^ -i- 2JZ—'5z^ 



ç^y^2yz — i5;r' i3j'+2jz — 6 z^ 



5yj^/ij^z — i5z\ j5y^ + iyz — 5 z^ 



yy'^ j^ Qyz-—ioz^ loy ■]- 6jz — yz'' 



De ces douze formes il y en a six qui ne sont autre chose que les 

 six autres prises avec des signes contraires , car d'ailleurs la forme 

 ay~{-2byz — cz^ ne diffère pas de ay — 2 èjK;z — C5% puisqu'on 

 peut prendre indifféremment z positif ou négatif. 



(go) Il pourra arriver pour certaines valeurs de^, qu'une formule 

 ay-^2bfz — cz" soit identique avec son inverse cjM- 2 ^J -s — az% 

 et c'est ce qui aura toujours lieu , si on peut satisfaire à l'équation 

 m" —An'= —1 . En effet , si l'on a irî'—'An-'— — 1 , et qu'on fasse 

 oy^J^ 2 hyz—cz''—Z^cz!''-\-2hy'z'-^ay% ces deux valeurs de Z, 

 Tune donnée , l'autre hypothétique , étant multipliées par a , on 

 aura, après avoir fait pour abréger , «7 + ^^ = 0;, ay ■'Yhz!=^x ; 



aZ^x^ — A z" 



^ a Z — x'^ — A z'\ 



D'où , à cause de — 1 = /tz" — Al.rf, on tire 



x'^—Az"— (nf—ALît) (x'-^Az'). 

 Pour satisfaire à cette équation , on peut la décomposer en ces 



deux autres : 



x'-\-z'\/A=^ (m — ns/A) (x-\-z\/A) 



x'—z'\/A= (m-\-n\/A) (x-~z\/A); 

 desquelles résultent 



;c'= m X — n A z 



js'= m z — n X ■= (m — b n)z — a ny. 

 Donc en premier lieu z' est un entier ; ensuite si à la place de x 

 et x' on met leurs valeurs ay-\-bz^ ay' + bz, on aura après les 

 réductions y= (m-\-bn) y — cnz. Donc y est aussi un entier, et 



