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§. XIV. JDÉrELOPPEMENT enfracLwn continue des racines 

 des équations d^un degré cjuelconque, 



(96) Soit proposé de développer en fraction continue une racine 

 réelle de l'équation 



a X" + b x""-' + c x"""" -{- +^ = 0, 



dont les coefficiens sont des nombres entiers positifs ou négatifs. 

 D'abord on peut supposer que cette équation n'est divisible par 

 aucun facteur rationnel, car autrement on pourroit supprimer le 

 facteur étranger à la racine qu'on veut développer , et l'opération 

 en deviendroit beaucoup plus simple : par la même raison, Féqua- 

 tion proposée ne pourra avoir des racines égales , car si elle en 

 avoit , elle seroit divisible par un facteur rationnel qu'on trouveroit 

 aisément par les méthodes connues. 



Cela posé, la racine dont il s'agit, étant choisie entre toutes les 

 autres sera connue à moins d'une unité près. Soit a lepluspetitdes 

 deux entiers prochains entre lesquels elle est contenue , on fera , 



si X est positif , x = ct-\ — r- , ou s'il est négatif .t = — a , et 



X X 



on sera sûr que la valeur de x' est positive et plus grande que 



l'unité. Substituant cette valeur dans l'équation proposée , on aura 



la transformée 



a'x" -l b'x""-' + c'x''"'- •i-k'-=o, 



qui servira à déterminer x'. Or on sait déjà que la valeur de x' dont 

 on a besoin , est positive et plus grande que l'unité ; il peut même 

 y avoir plusieurs valeurs de x' qui remplissent ces deux conditions , 

 parce qu'il peut y avoir plusieurs racines de l'équation proposée 

 qui , sans être égales ^ soient comprises entre et et a + 1. On essaiera 

 donc pour x' les nombres successifs i , 2, 3 , ^cc. jusqu'à ce que, 

 par les caractères connus , on trouve les nomb.^es entiers les plus 

 proches entre lesquels tombe la valeur de x'. Soit C le plus petit 



des deux , on fera x = C+-7- , et en substituant cette valeur, on 



x' 



