P R E M I È R E P A R T I E. i35 



Donc si la fonction ^^::''-!-J5^"~' + Cz^^^ . . -}-X est désignée par 



(p : z ou. (p , et qu^on forme succe^ssivement par la différentiatioii 



, , d:p cl dp d'(p Vf' -, . 



les quantités (p, -y-, "773' ;, , i ? ûcc., qu ensuite on substitue 



cZ>2^ [2 CL '<» 2t • KjCtZ 



au lieu de z sa valeur approchée [j. ^ ces quantités deviendront 

 respectivement les valeurs des coefficiens ^', B' , C, &c. de la 

 transformée suivante. 



Telle est la méthode que Lagrange a le premier proposée pour le 

 développement des racines des équations en fraction continue ; 

 mais cette méthode seroit d^une longueur rebutante dans la pra- 

 tique , si le même auteur n'eût indiqué un moyen fort simple de 

 continuer sans tâtonnement la suite des entiers «,C^y,cr, &c. 

 lorsque quelques-uns des premiers termes sont déjà connus. Voici 

 en quoi consiste ce perfectionnement. 



(loo) La formule x = — ~, donne z = -^ ■^— , 



çz-\-ç° p — qx 



ou 



X désignant toujours la racine qu'on veut développer, soient x^ , 

 a^a', x^ , &c. les autres racines de la proposée , et soient z^^ z^^ z->^^ &c,- 

 les valeurs correspondantes de -s, alors, outre l'équation précé- 

 dente , on aura les n — i équations qui suivent ; 



z ^.^^ pi:^]±i- 



r u y°_ pq'-P°q 



. i_ ^' - P'f—P °1 

 q q(p — q x:^) 



&C. 



Ajoutons toutes ces équations , et observons que Féquation en z 



B 



~2 



la somme sera 



B - '7' - A A 



étant^2" + i5^''-'-f &c. — o, ona^î + ^.-i-z^ + xrj-i- &c. = -^ 



ul q q"- q 



