PREMIERE PARTIE. iSg 



continuant par le moyen de ces quotiens le calcul des fractions 

 convergentes vers x , on parvienne à la fraction — - , cette der- 

 nière sera encore ( n''. 9 ) une fraction convergente , si Ton a 



Pi 1 2 A 



X <: — TT-; donc tant que-;- sera > —7 ; — — ■ , ou tant 



qu'on aura Q < , — ^— , ou à-peu-près Q < -7^, la fraction 



^ \/2A yiL 



P 



— sera encore l'une desfractions convergentes vers x. D'où il suit qu'à 



partir de la fraction convergente - , la valeur de z correspondante , 



développée en fraction continue , fournit les quotiens nécessaires 

 pour prolonger les fractions convergentes vers x, jusqu'à ce qu'elles 

 aient environ deux fois autant de chiffres que celle d'où l'on est 

 parti. 



Exemple I. 



(io3) Soit proposée l'équation x"^ — x'' — ix-^i =0^ dont on sait 

 que les racines sont ^ = 2 cos y tt , ^ = — 2 cos y tt , x ^=■1 cos y tt , 

 TT étant la demi-circonférence dont le rayon est 1. On aura donc 

 à-peu-près a; = i , 802 j a; = — 1, 247 5 a; = o , 445. Pour dé- 

 velopper d'abord la première racine , on observera que les diffé- 

 rences de cette racine avec les deux autres étante: — a;i=3,o4g5 



. 1 I 



X — xn = 1 , 557 , on a la limite r= = — j- -i —^ = 1 a-peu- 



près ; et ainsi la formule qui donne la valeur de z sera exacte à 

 moins de 7^ lorsqu'on aura ç'> y/ 1 o ou ç'>'5 , et à moins de 7^ lors- 

 qu'on aura y>io. 11 n'y aura donc dans ce cas aucun tâtonnement. 

 .Voici au reste les détails de l'opération. 



La valeur de x qu'on veut développer étant comprise entre 1 et 2, 



je fais X = li — , et j'ai la transformée 



z 



^^ 2^ + 2^-1-1=0. 



Dans celle-ci il est aisé de voir que la valeur positive de z est 

 encore comprise entre 1 et 2 , ainsi on fera z=i+ -, ou simple- 



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