i44 THÉORIE DES NOMBRES. 



E X E M P L E I I. 



(io5) Soit proposée Téquation x^~h 1 1^*— .102*+ 181=0, dont les 

 racines approchées sont :r=3 , 2i5i^ x=5 , 22905^= — 17, 442. 



Puisqu'il y a deux racines très-peu inégales , on pourroit les 

 trouver directement, en combinant Féquation proposée avec Téqua- 

 tion des racines égales 5a;^ + 22 a;--io2 =0. Or celle-ci donne en 

 effet x=5,22 à-peu-près , valeur qui étant développée donne les 

 premiers quotiens 5 , 4 , 1 , au moyen desquels on pourra commencer 

 l'opération dont voici le détail : 



x^-jriix" — io2^-f 181 = 



^' 9 -s"" -f- 20 Z + 1 = G 



z^ — 4 z^ H- 3 z -f 1=0 



z^ — 2 z^ — z + 1=0 



— z'+5z''+4:z-\- lr=0 



Sans aller plus loin , on voit 

 que les transformées et les quo- 

 tiens ultérieurs seront comme 

 dans l'exemple précédent. 



4 

 1 

 2 

 4 

 20 

 2 

 3 

 1 

 &c. 



3 



i3 



16 



45 



196 



3965 



8126 



28343 



&c. 



1 



4 



5 



i4 



61 



1234 



2629 



8821 



Les rapports qu'on observe entre les résultats de ces deux exem- 



pies , sont fondés sur ce qu'en faisant dans ce dernier x = ~ —, 



4z + 5 



on a pour transformée z' 

 l'exemple I. 



2 z-^i=-.o ^ qui est l'équation de 



Exemple III. 



(106) L'équation x^ — x^ — 3 :»;" + 2 .r + 1 = o auroit pour racines 



"^ 27r Stt kiT . 



X — 2 cos -, X — — 2 cos — , a'= 2 cos — , a: = — 2 cos — : mais en 

 9 9 9 9 



excluant la racine 2 cos — qui se réduit à l'unité , on a l'équa- 

 tion X — 3a; — 1=0 dont les racines sont a7=2CoS-jA; = — 2 cos — : 



: 9 9 



4'^ -j . . 4:7 



'^ '2 cos — . Voici le développement de la plus petite — 2 cos — . 



xf — 3»T — 1=0 



