i48 THÉORIE DES NOMBRES, 



jouissent de la même propriété , c'est-à-dire que si Pune quelconque 

 de ces transformées est représentée par ^z^-^Bz''-{-Cz~\-D=^ o , 

 les nombres ^ , B, C, D pouvant s'élever à une grandeur quel- 

 conque , on satisfera toujours à Féquation 



u^t'-i- Bt'u+ Ctu'-^ Du' = i, 



en prenant t = — g°fU = ç, ~ étant la fraction convergente à 



laquelle répond le quotient-complet z. 



Si l'on considère de plus que la proposée ^^ — x'^ — 2x-{-i=o 

 et ses trois premières transformées ont à leur premier terme l'unité 

 pour coefficient , et que chacune de ces quatre équations peut être 

 regardée comme l'équation principale qui, parle développement 

 de sa racine , fournit toutes les autres transformées , on en con- 

 clura qu'il y a toujours au moins quatre manières de réduire à 

 l'unité la quantité ^t^+ BV'u-Y Cta''-{- Du". Par exemple , si l'on 

 se propose encore l'équation 



4787g t^ ■\- 25o i58 t^u — 50699 tu^-\- ibi lu^ = 1 , 



on y satisfera de ces quatre manières : 



t = 6296 u = 63889 

 ^ = 5o49 «=5i255 



t =z 1247 W = 12654 



if = 61 u= 619. 



(108) Mais on peut encore trouver d'autres solutions par le 

 développement des deux autres racines de la même équation. En 

 effet , puisqu'en partant de l'équation 



478792^-1- 25oi58z" — 50699 ;s 4- 2^2^ = ° J 



r* 62060? 11 345 , _ 



et taisant z = ——^ — - , on a la transformée 



00089:1: — ii5i24 



x^ — a:* — 2 :»: -I- 1 = G , 



on peut supposer qu'on est parvenu à ce résultat, en développant 

 en fraction continue une racine de l'équation en z , comprise 

 entre o et 1. Voici l'opération %ii seroil l'inverse de celle de 

 l'exemple I : 



