15-2 THÉORIE DES NOMBRES. 



Celle-ci est censée répondre à la racine x qu'on a développée m 

 fraction continue. Les autres racines delà transformée (au moins 

 lorsque le développement est devenu régulier, et que la trans- 

 formée n'a pas à-Ia-fois deux racines positives et plus grandes que 

 Funité ) sont toutes négatives et plus petites que Funité^ en effet , 

 si on désigne par x, celle des autres racines de la proposée à la- 

 quelle répond une autre racine de la transformée , désignée sem- 

 blablement par z, , on aura 



p — qx, p "^ p(p — qxj 



Or on ^pq° — p°q^='=t:i , et comme /> va en augmentant , ainsi que 

 p — qx, , puisque- n'est pas une fraction convergente vers x, , il 



est clair que la valeur de -s, approchera d'autant plus de que 



p sera grand. Ce résultat a lieu également pour toute racine de 

 la transformée autre que z , d'où l'on voit que toutes ces racines 

 tendent continuellement à être égales entr'elles , et à avoir pour 



valeur commune — — , quantité négative et plus petite que l'unité, 



P 



_• 



(iio) D'un autre côté, on sait (n°. ii) que la quantité — ■ 



, ^ . . P 



i?st égale à la fraction contmue 



1 

 — 1 



1/."°' 



••• i 



et 



composée des quotiens qui précèdent i^i. dans l'ordre rétrograde, 

 jusqu'au premier a inclusivement. Donc tandis qu'une racine z de la 

 transformée JZ=o , donne dans son développement les quotiens 

 //, f^\ l*'\ &c. , toutes les autres racines de la même transformée 

 donnent dans leur développement les quotiens précédens ^% f^°°j 

 ft°°% &c. dans l'ordre inverse. Ces racines sont donc en effet d'au- 

 tant plus près de l'égalité , qu'il ^ a un plus grand intervalle entre 

 la proposée et la transformée dont il s'agit. Mais quelque approchée 



que 



