i54 THÉORIE DES NOMBRES. 



Dans le cas où a — at, = i , il faut remonter au quotient qui pré- 



cède A , et on aura C H = é'-}- 1 + 



et — or, — 1+/ 



'5°. Si la valeur de x, est positive et plus grande que a , il faudra 

 encore remonter au quotient é", et on aura 



1 



^ -f - 



y 



Soit d'abord *,=* , cette valeur se réduit à ^— jk , et on se conduira 

 à l'égard de ^ — y , comme on Fa fait pour a. — x. 

 Soit ensuite a — *, = — w, on aura 



1 1 t 



f-l = ^ \z=^Q — 1'\ 1 



ce — 'X^ m+- i + 



-^ J^ 



De-là on voit que dans tous les cas la substitution de la valeur 

 de x^ peut se faire dans la fraction continue égale à z^ , sans occa- 

 sionner d'autre changement que sur quelques - uns des derniers 

 termes de la suite //°, i*.°° , ... ^, « , ou sur quelques-uns des pre- 

 miers de la suite a, , ^, , 7, ^ &c. venant du développement de x^. 

 D'ailleurs la suite infinie «, , ^, , T'i , &c. (sauf peut-être quelques 

 premiers termes) sera également comprise dans le développement 

 de la racine ^,. Donc une racine quelconque de la transformée 

 offre toujours dans son développement en fraction continue les 

 mêmes quotiens que la racine correspondante de la proposée , 

 sauf les premiers termes qui sont différens , tant à cause de la 

 partie /w°, p.°°, &c. qui est propre à la transformée , qu'à cause de 

 la jonction des deux fractions continues qui peut opérer un chan- 

 gement dans les premiers termes. 



(111) Pour rendre ces résultats encore plus sensibles , reprenons 

 l'exemple I, où l'équation proposée est x^ — x"^ — ix-\- 1=0, et con- 

 sidérons une de ses transformées , telle que 



— 197^^4-568^^-1-6952+181 = 05 



la racine positive et pliîs grande que l'unité sera donnée par 

 lea quotiens qui naissent de la continuation du développement , 



