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Si l'équation est algébrique , et qu'on ait 



F '. (x) = a.T"-l-èa^'^-'-f-^^'"'+ A-k 



F': (x) = ?iax''-'-\-(n—i)bx''-'' + Cn-''2)cx''-'-{- &c. 

 il en résultera 



q q af^bf-'q-^-cf-^q''-^- +A/ 



ce qui revient à la formule du n°. loo. 



En général , il est à remarquer que la valeur de z donnera par 

 son développement divers quotiens y^ , //, y!' ^ &c. qui feront suite 

 avec les quotiens déjà trouvés , et permettront de continuer le 

 calcul des fractions convergentes jusqu'à ce que l'erreur de la 

 première approximation soit réduite à son quarré. Et s'il arrivoit 

 que la valeur de z ne fut pas positive et plus grande q^ue l'unité , 

 ce seroit une preuve qu'un ou plusieurs des quotiens précédens 

 /y.^, /w°°, &c, sont fautifs , et doivent être corrigés au moyen de la 



valeur de z. Alors on réduiroit en une seule fraction y" Ar- •, et si 



z 



la somme étoit positive et plus grande que l'unité , il n'y auroit 

 que le dernier quotient y." à changer. Dans le cas contraire , il 



faudroit substituer la valeur de z dans y""^ ■{ i , ou même dans 



y -i — 

 z 



/"°°^^ — ~ '^ 6t ainsi en rétrogradant, jusqu'à ce qu'on par- 



y. -| I 



y"-\-~ 

 z 



vînt à un résultat positif et plus grand que l'unité. Cette valeur étant 

 développée en fraction continue , donneroit à-la-fois les quotiens 

 qu'on doit substituer aux quotiens défectueux et quelques-uns de 

 ceux qui les suivent , selon le degré de la première approximation. 



Il est clair que par des opérations semblables , réitérées autant 

 qu'il est nécessaire , on peut parvenir à développer en fraction 

 continue , et jusqu'à un nombre de quotiens quelconque , toute 

 jracine d'une équation proposée , de quelque nature qu'elle soit. 



( ii3) Quant à la méthode pour obtenir la première approxima- 

 tion , on peut proposer comme l'une des plus simples et des plus 

 convenables pour cet objet , la méthode de Daniel Bernoulli , fon- 

 dée sur la théorie des suites récurrentes , et dont Euler a donné 



