i6o THÉORIE DES NOMBRES. 



Ces formules sont les mêmes dont on se sert pour trouver la somme 

 des puissances de même nom des racines d'une équation donnée} 

 mais il est évident qu'elles sont applicables aussi à la résolution 

 approchée des équations 5 car si a est la plus grande des racines , 

 et que l'exposant n soit suffisamment grand, on aura à fort peu- 

 près N=^a : on auroit , par la même raison , JW = *""', donc la 



racine cherchée et =r — -. 



M 



Donc pour avoir par approximation la plus grande racine de 

 l'équation proposée , il faut calculer les coefficiens successifs 

 -f^, B ^ C, D. . . . M , iV". . « . par la loi générale des suites récur- 

 rentes y puis on divisera le dernier coefficient trouvé par l'avant- 

 dernier , et le résultat sera la valeur de la racine demandée : valeur 

 d'autant plus approchée , que l'opération aura été poussée plus 

 loin , et qu'il y aura plus d'inégahté entre les racines. 



Il est aisé , par une transformation , de faire en sorte qu'une 

 racine quelconque devienne la plus grande des racines , ainsi cette 

 méthode peut servir à trouver indistinctement toutes les racines. 

 Dans un grand nombre de cas l'approximation sera plus rapide par 

 cette voie que par aucune autre connue 5 quelquefois elle sera lente, 

 quelquefois aussi les résultats seront absolument fautifs 5 mais il 

 est facile de prévoir et d'éviter ces inconvéniens , si l'on a une 

 première notion de la grandeur relative et de la nature des racines. 



(ii4) Appliquons ces méthodes à l'équation x" — 3a7''+i=oj 

 pour avoir la valeur approchée de la plus grande racine , il faudra 



5 5^» 



développer en série la fraction -, , ce qui donnera 



1 — oz -\- z^ ^ 



3 + 9-S + 24 z" -H 69^^-1-1982^ + 570 ^'+16412*^+ 4:y25z'-\-i36o5z* 

 -j-Sgiyi-z^-f &c. En s'arrêtant ainsi au dixième terme, on aura 



1 • -UT,' 39174 



la racme cherchée a;=— ^~--, 



loboo 



Maintenant si on développe cette valeur en fraction continue , 



on aura les quotiens 2, 1, 7,3, 2, 3, 1, 2,65 et pour juger 



jusqu'à quel point ils peuvent être exacts , on développera sembla- 



, 1 ^ n • i36o5 , . , A 



plement la iraction —- — — qu on auroit eue en s arrêtant au neu- 

 4720 



vième 



