ii63 THÉORIE DES NOMBRES. 



quelques vues nouvelles sur l'approximation des racines imagî- 

 naires, objet jusqu'à présent assez négligé des Analystes. 



On sait que toute racine imaginaire d'une équation peut être 

 représentée par a + Cy — i_,a, et ^ étant des quantités réelles j on 

 sait aussi que la quantité a peut être déterminée directement par 



une équation du degré ~ , n étant le degré de l'équation 



proposée. Ayant trouvé et , il n'est pas difEcile d'avoir^, car comme 

 Téquation proposée doit être divisible par x"" — 2a^ + a'' + ^% si on 

 exécute la division par ce polynôme , et que le reste soit ^x-i-B , 

 il faudra qu'on ait -r^ = o et £=o, équations entre et et ^, au 

 moyen desquelles il est facile d'avoir une valeur rationnelle de C, 

 Tout se réduit donc à trouver la valeur de a par l'équation dont elle 

 dépend 5 mais dès que/z surpasse 3 ou 4 , le degré de cette équation 

 devient trop élevé , pour qu'elle soit de quelqu'utilité dans la pra- 

 tique , et il faut absolument recourir à d'autres moyens pour avoir 

 les valeurs approchées de a et C Or quels que soient u et C ^ on 

 peut toujours supposer a. z= S cos (p ^ C = Ù sin <p , ce qui donnera 

 a;=6fcos?+ y/ — 1 sin (p^,et en général x'"=9"'Ccos/7Z(p-f \/ — ismm(p). 

 C'est par ces formules , dont l'emploi a été indiqué par Euler , qu'on 

 pourra parvenir à simplifier beaucoup la recherche des racines 

 imaginaires. 



Considérons d'abord l'équation ax'"+bx-\-c = oà laquelle peut 

 se réduire toute équation à trois termes ; ( car la solution que, nous 

 allons donner ne suppose pas que m soit un nombre entier). Si 

 on met au lieu de x sa valeur Ô (^ços ?+ y/ — 1 sin ç) , l'équation pro- 

 posée se décomposera en ces deux autres : 



a ô"" cos m <p -\- b Q cos (p + c = o 

 a ô"* sin m (p -T b B sin (p = o. 



Multipliant la première par sin m ip , la seconde par — cos m(p, et 

 ajoutant les produits , on aura 



c sin 772 ^ + ^ ^ ^sin m <p cos 9 — sin ? cos m<p) z=o ^ 

 ou c&mm(p-{-bHm (m — i)(p = o'j d'où l'on tire 



/ c\ sin 771 (p 



\ 0/ * sin (m — i)(p' 



