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On doit supposer que le premier membre de l'équation proposée 

 (avant même d'y appliquer aucune réduction) n'est divisible par 

 aucun facteur rationnel 3 car s'il pouvoit se partager en deux fac- 

 teurs de cette sorte, l'un du degré m, l'autre du degré ^z — m, 

 l'équation proposée se décomposeroit en deux autres de la forme 



L'y-"' + Mfy-""'z 4- iV'>"-'"-'z' + &c. =— , 



rr étant un diviseur de 11^ de sorte qu'alors le problême devien- 

 droit entièrement déterminé. 



Il s'ensuit évidemment de cette supposition , que le premier 

 membres -s" -f- &z"~'z/+ c2"~'//+ &c. delà transformée, n'est point 

 non plus décompôsable en facteurs rationnels. Donc il n'y aura 

 aucunes valeurs de u et z en nombres entiers qui pourront rendre 

 ce premier membre égal à zéro ; et ainsi la valeur ±1 est abso- 

 lument la plus petite de toutes celles qu'il peut recevoir en subs- 

 tituant pour y et z des nombres entiers quelconques positifs ou 



négatifs. 



(121) Cela posé, nous allons chercher en général quelles doi- 

 vent être les valeurs de / et u pour que la fonction homogène 



ai^i- bf'-'n+cf-'u' +kur 



soit la plus petite possible. Pour cela , imaginons qu'en résolvant 

 l'équation déterminée 



on trouve les facteurs simples réels x — a, x — x^x — a'', &c. et les 

 fact eurs doubles imaginaires (fx—é"/"!- 7% (x—C'/-ty'% &c. 5 alors 

 la fonction proposée 0^+ bf-'u-\-ct"-'u^+ &c. que je désigne par 

 F (t^u) ^ sera égale au produit 



Supposons que les valeurs de / et w qui répondent au minimum de 

 cette fonction soient t =p ^ u=^q ^ en sorte que ce minimum soit 



F(p, q)=a (p — ^q) (p — ci'q). . . .{p — ^ q' + yY^ &c. 

 Il faudra donc qu'en prenant pour ^ et u des valeurs en nombres 

 entiers différentes dep et ç' (au- moins jusqu'à une certaine limite) , 

 on ait F(p , q) <F(iy u). C'est ce qui ne pourroit avoir Heu , si 



