172 THÉORIE DES NOMBRES/ 



Soit d abord ^ ^— = — y. on en déduira u = ^ ^—idonCy 



à cause de y positif et plus grand que l'unité , -^ et - seront 



deux fractions consécutives convergentes vers a , et jk sera le 

 quotient-complet qui répond à la seconde. . 



_ - ,. . if — <tq° py — n° 



En second heu , soit ~ = -f r , on aura a, =^-^ — ^- ; mais 



j? — ctq qy—q 



il faut subdiviser ce cas en deux autres, selon quej^ est >»2 ou 



Si Ton a jK> 2, on fera j^= i+^, z étant > i , et on aura 



pz-\-p — p° 1 P — p' P t r ' 



ti = f f ri— . donc ■— , -~ seront encore deux iractions 



çz + q—ç° q—q^ q 



consécutives convergentes vers « , et >^ sera le quotient- complet 



qui répond à la dernière. 



Dans ces premiers cas , qui présentent déjà une grande latitude , 



• P 



il est donc prouvé , d'une manière directe et fort simple , que - 



est une fraction convergente vers la racine a. 



11 reste à examiner le dernier cas où l'on a 7<C2. Soit aiora 



1 



^ = 1 H — , z étant toujours >» i , on aura 

 z 



(q—q^y^'^q (q—q°)(z+i)-^q'' 



3 7>° p P° 1 r . ' ' 



oonc ^— , -~ seront deux tractions consécutives convergentes 



r q-q^ ^ 



vers et (i) , et le quotient-complet qui répond à la dernière sera 

 J5 4-1 , quantité plus grande que s. 



Il faudroit que le quotient fût seulement i plus une fraction , 



pour que - fût la fraction convergente qui suit ; j et puis- 



P r 



(i) On suppose p — p°^P°> ^* ^^ ^^et le développement de en frachon 

 continue donne une suite de quotiens dont le dernier peut être supposé à volonté 

 plus grand que l'unité ou égal à l'unité. Or si on le prend plus grand que l'unité , 

 f ne seia pas moindre que 2p*4'P°°> ^* ^^i^^i on aura p — p° ^P"* 



