174 THÉORIE DES NOMBRES. 



générale , que la fraction - , qui répond au minimum de la fonc- 

 tion proposée , doit être comprise parmi les fractions convergentes 

 vers Fune des racines et _, a', a!\ &c. , ou vers Fune des quantités 

 ^, é"', Ç% &c. Car si elle n^y est pas comprise , il faudra que les 

 conditions suivantes soient réunies. 



i". Oue la quantité'' 2_ relative a une racine déterminée *, 



p — c^q 



ôoit comprise entre + i et +2. 



2''. Oue toutes les quantités analogues -, — , 7, — • , occ. 



^ ^ " p — aq p — a Ç 



/- ^ , ^ ?- . &c. relatives aux autres racines , soient plus 



p—Cq p — Cq 



petites que Funité. * 



Mais cela posé , il paroit impossible que la quantité — r 



t[ui est composée du produit de tous les facteurs 



p'—q' f--q' f-'-q' Cf-^q-y^yq'' ^^ 



p—ctq' p-^et'q' p — ^'q Tp — ^^7 + >V' 



soit plus grande que Tunité , comme elle doit Fêtre , si F (p^q) est 



un minimum. . 



En effet, puisque la différence entre- et -^ n'est que -, 



et que ^ est une fraction convergente vers a , il suffit que parmi 



les racines a', ct\ &c. et les quantités 6", C, &c. il y en ait une 

 ou d'un signe contraire de a, , ou dont la différence avec a soit 



sensiblement plus grande que 5 alors si a! est cette racine , 



le facteur - — , ■ sera à-peu- près — et ainsi sera moindre que f j 



p—'a q q 



(f—^q^y^yq'^*' 



et si é'est une quantité asse? différente de cfc,le facteur , ^ y ^ „ 



ce réduira encore à très-peu-près à f— j et sera par conséquent 



plus petit que ^. Donc dans la valeur de — ^ . il n'y auroit 

 qu'un facteur plus grand que l'unité , mais moindre que 2 3 tandis 



