178 THÉORIE DES NOMBRES. 



Lr=:^(a — u!) (d — ^^9 ... . (p^^^ + y") (^^" + y'^^y &c. 

 on aura à très-peu-près F(p )q)^=^ aq"'' (p—^etqJL. Soit z le 

 quotient-complet qui répond à la fraction convergente - , on aura 



1 q 



p — «2' = — 75 àonc F(p^q)=:àzaL.- 



n~■3. 



Dans cette formule, aL étant une quantité constante, on voit 

 que pour que F(pjq) soit un nombre donné , il faut que le quotient 

 z soit en général proportionnel à g'""^. 



Ainsi , par exemple, si on veut que F(p,q) se réduise à =fc:i, 

 comme cela est nécessaire dans les équations que nous nous sommes 

 proposées , il faut qu'on ait z=^aL q"""" à-peu-près. Telle est la 

 grandeur des quotiens auxquels on reconnoîtra les fractions con- 

 vergentes qui satisfont à la condition du minimum F(p,q) = ri: ] , 

 Cette formule sera sur-tout utile , si le développement d'une racine 

 se fait non par la méthode des transformées successives , mais par 

 le moyen d'une valeur approchée de cette racine (n". 112). 



A mesure que l'opération du développement avance , la valeur 

 de q augmente , et par conséquent celle de z (car on suppose ici 

 Tz^ 2) , de sorte qu'il devient de moins en moins probable qu'on 

 trouvera le quotient z nécessaire pour le minimum. Cependant si la 

 racine et est très-peu différente d'une ou de plusieurs autres racines 

 *', a!', &c. ou des quantités ^, ^', &c. , alors la limite L pourra être 

 extrêmement petite , et il ne faudra plus un quotient aussi considé- 

 rable z pour répondre au minimum de F(p,q). Cette remarque 

 s'accorde avecles propriétés que nous avons déjà exposées (n°^ 109 

 et 110). 



Supposons en second lieu que ~ soit l'une des fractions^on- 



rèrgentes vers la quantité Cj supposons en même temps que la 



différence entre - et é" soit beaucoup plus petite que y , et aussi 



beaucoup plus petite qu'aucune des quantités a, et', af' , . , ê', '^" &c. 

 Cela posé , si l'on fait pour abréger , 



A = (^.-^ct) (t-^ct') (-'^rt"), . . [ (-e— €'/ + /-] &C. , 



on aura à très-peu-près F (p^q) =û^''>"a. Donc si ou veut que 



