i8o THÉORIE DES NOMBRES. 



On voit , par les premiers termes des transformées , que le minl^ 

 muni + 1 a lieu lorsque ^= i5 et ;/ = 4 , de sorte que ces valeurs 

 satisfont à l'équation 



j t^-— iiofu-^h^Stu"— ^i\ u^ — I. 

 Dans le reste de l'opération , on ne trouve plus de transformées 

 dont le premier terme ait pour coefEcient i , et ainsi on est cer- 

 tain que la première racine ne fournit plus d'autre solution de 

 l'équation précédente , à moins de supposer le nombre u beaucoup 

 plus grand que 819x2402195 mais par cette grandeur même, il 

 paroît bien peu probable que l'opération prolongée fournisse de 

 nouvelles valeurs de t et u. Il reste à développer en fraction con- 

 tinue la partie réelle des racines imaginaires. Or comme l'équation 

 n'est que du troisième degré , si on appelle a la racine réelle dont 

 nous venons de trouver des valeurs approchées , la partie réelle C 

 des racines imaginaires sera C = ^ — ^aj substituant la valeur 

 connue de a , et développant le résultat en fraction continue , on 

 aura les quotiens et les fractions convergentes vers e comme il suit : 



Quotiens 5, i,55, 1 , 2 ,2,1,3 



I 5 6 335 34i ^ 

 rract. converg. -, -, -, — — - , -7 — > etc. 

 o 1 1 56 07 



Or en prenant successivement pour - ces diverses fractions con- 



u 



vergentes , on trouve que les valeurs ^ r=-. 6 , z/ = 1 , donnent encore 

 le minimum + 1 , et fournissent ainsi une seconde solution de l'équa- 

 tion indéterminée 7/^ — wof^u &c. =1. Ilseroit inutile de prendre 



t 

 pour - d'autres fractions convergentes , parce que la limite trou- 

 vée ci- dessus q^=^ y/ — ^ donne à très-peu-près 5' = 1. 



