SECONDE PARTIE. 



PROPRIETES GENERALES DES NOMBRES, 



§. I. Théorèmes sur les Nombres premiers. 



(129) Théorème, ^i q, est un nombre -premier ^ ef^un nombre 



quelconque non divisible par o, , je dis que la quantité N*""^ — 1 sera 



W~^ — 1 



divisible par c, de sorte quon aura = entier = e (1). 



c 



Soit X un nombre entier quelconque , si on considère la formule 



connue 



^ . . ce — 1 „ ce — i.c — 2 , 



(i-^x)'=i+cx-\ x^-h x^+ +cx''-'-\-x', 



1.2 1.2.0 



il est aisé de voir que tous les termes de cette suite , à ^exception 



du premier et du dernier , sont divisibles par c. En effet , soit M 



t m • n m -- ce Ï,C 2....C — m+i 



le coefncient de x , on aura M= , ou 



1 . 2 . o m 



M. 1.2.3. . . m = cc — -i.c — 2. .. c — m-{- 1 , et puisque le second 



membre est divisible par c , il faut que le premier le soit aussi. Mais 



l'exposant m, dans les termes dont il s'agit , ne surpasse pas c — 1 3 



donc c , qui est supposé un nombre premier , ne peut diviser le 



produit 1.2.3... //z , donc il divise nécessairement JH pour toute 



valeur de m depuis 1 jusqu'à c — i . Donc la quantité (1 i-x)" — i—x" 



est divisible par c , quel que soit l'entier x. 



Soit maintenant i-\-x = N, la quantité précédente deviendra 



N'' — (N — i)"-^! 3 et puisqu'elle est divisible par c , si on omet les 



(i) Ce théorème , l'un des principaux de la théorie des nombres , est dû à 

 Fermât j il a été démontré par Euler dans divers endroits des Mémoires de Pé- 

 tcrsbourg ; et notamment dans le Tome I des Novi commentarii. 



