iS2 THÉORIEDESNOMBRES. 



multiples de c , on aura iV^'' — i=^(N'^ï)% ouN' — iV=fiV— i/— « 

 (H — i). Mais en mettant N — i à la place de iV, et négligeant tou- 

 jours lesmultiples de c,on aura semblablement ('iV — i)" — (N — 1)= 

 (N — 2)" — (N — 1). Continuant ainsi de restes égaux en restes 

 égaux, on parviendra nécessairement au reste (N — N)" — (N — N)^ 

 lequel est évidemment zéro. Donc tous les restes précédens le sont 5 

 donc iV" — N est divisible par c. 



Mais iV"— iVest le produit de iVpar iV""' — 1 , donc puisque N 

 est supposé non-divisible par c , il faudra que N''~'' — 1 soit divisible 

 par c ,• ce qu'il fallait démontrer. 



Corollaire. Lorsque c est un nombre premier, on satisfera à 

 réquatiou =<?, en prenant pour x un nombre quelconque 



C 



non-divisible par c. Donc si on considère seulement les valeurs 

 de X positives et moindres que c , ces valeurs seront les nombres 

 successifs 1 , 2, 3,4... c — 1 j et si on considère les valeurs ou 

 solutions comprises entre — \c et +7*?, ces valeurs ou solutions 



seront :=i=l j =i:2 , d=: 3. . . . ^fcf \ Dans les deux cas , les 



solutions de Féquation dont il s'agit , sont au nombre de c — 1 égal 

 à l'exposant de a:, 



(i3o) Théorème. Si n est un nombre premier ^ le produit 

 1.2.3... (n — i) augmenté d'une unité , sera divisible par n. 



En effet , il résulte de la tbéorie des différences qu'on a , quel 

 que soit m , l'équation 



m , , m. m — 1 ^ ^, m. m — ï.m — 2, rr%,« . o 



1.2.5,.. m=772'" (m^ir^ (^/7Z—2;"' f/TZ— 3;'"+ &<■ 



l 1.2 1.2.3 



Si l'on fait m=n-^i , et qu'on néglige les multiples de tz , on aura ;, 



suivant le théorème précédent , 



/7z'"=:i , ("m— i;'"=i , (fm— 2/' = i , &c. 



Donc le produit 1.2. 3... m, en faisant les mêmes omissions, se 



,- . , m, m — 1 m, m — i.m — 2 , o i i i 



réduit a 1— m-\ n 1- &c. , le nombre des 



1.2 1.2.0 



termes de cette suite étant m. Mais ces m termes composent la 



