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puissance développée (i — 0'" moins son dernier terme, qui est -f- 1, 

 parce que m est pair. Donc la somme des termes en question 



— (^1 — ij"" — 1 = — 1. Donc la quantité 1.2. 3 (n — 1^+1 est 



divisible par n. 



(i3i) Ce théorème , dont Waring fait mention dans ses Mecîi^ 

 tationes ^4lgehraicœ , 'et dont il attribue la découverte à Jean 

 Wilson , a été démontré pour la première fois par Lagrange dans 

 les Mémoires de Berlin, année 1771, et ensuite par Euler dans 

 ses Opuscula ^nalytica , Tom. I. Il est sur-tout remarquable , en 

 ce qu'il n'a lieu que lorsque n est un nombre premier. En effet, 

 si n est composé de deux facteurs quelconques inégaux a et b ^ 

 ces deux facteurs se trouveront nécessairement tous deux parmi 

 les nombres 1 , 2 , 3,. . ,(n — \) , et la quantité 1 .2.3. . ,(n — 1^+ 1 

 divisée par n, laissera pour reste +1- La même chose auroit lieu, 

 quand même n seroit égal au produit des deux facteurs égaux 

 axa; car alors a et 2 a se trouveroient dans la suite 1, 2,3. . • /z — 1, 

 Donc le produit de ces nombres seroit divisible par a" ou /z , et 

 ce produit, augmenté d'une unité, laisseroit pour reste 1, 



On peut déduire de-là une règle générale et infaillible , pour 

 reconnoître si un nombre donné n est premier ou s'il ne l'est pas. 

 Pour cela , il faut ajouter une unité au produit i.2.3. . . (n — 1) 5 

 si la somme est divisible par n, le nombre n sera premier 5 si elle 

 ne l'est pas , le nombre n sera composé. Mais quoique cette règle 

 soit très belle in abstracto , elle ne peut guère être utile dans la 

 pratique , attendu la grandeur énorme à laquelle s'élève bientôt 

 le produit i.2.3...('/z — 1^. 



Observons que les nombres n — 1 , tz — 2 , n — 3, &c. considérés 

 comme restes de la division par n , sont équivalens aux rester 

 — 1 , — 2 , — 3 , &c. 5 d'ailleurs n étant supposa impair , le nombre 

 des facteurs 1, 2,3... n — i sera pair. Donc le produit 1.2. 3... (n — 1^, 



divisé par n , laissera le même reste que=bi*.2^3\ .. ( J , 



le signe ambigu étant + lorsque n est de la forme 4Z'+i, et — 

 lorsqu'il est de la forme 4/î: — 1. 



Donc 1°. si le nombre premier tz est de la forme 4^-f 1 j la quan- 



