i84 THÉORIE DES NOMBRES. 



titéTi.a.S.. . j 4- 1 sera divisible par 7z. On connoît donc ainsi 



une somme de deux quarrés a*-f i dont n doit être diviseur. 

 2°. Si le nombre premier n est de la forme ik — i,la quantité 



(^1.2.3... ) — 1 sera divisible par n , et par conséquent n doit 



diviser Tune ou Fautre des deux quantités i . 2.3. . . . ( j + 1 ) 



,...5....(î=i)-. 



(i32) Le MME. Soii c un noînbre premier y et P wi polynôme 

 du, degré m , savoir P :=ax'~+^x™~' + 7X°'~*. . . -\-u>',je dis quHl 

 ne peut y avoir plus de m pâleurs de x , comprises entre -[• \o 

 et — 7C , qui rendent ce polynôme divisible par c. 



Car soit k une première valeur de x qui rende P divisible par c , 

 on pourra faire P= (x — Je) P' -^-^c^ et on aura pour P' un po- 

 lynôme en X du degré m — 1. Soit h! une seconde valeur de x qui 

 rende P divisible par c , il faudra que cette valeur rende (x — k) P^ 

 divisible par c. Mais le facteur x — k , qui devient k' — k , ne peut 

 être divisible par c , puisque k et h' sont supposés chacun plus 

 petits que ^cj donc P ne pourra être divisible une seconde fois 

 par c ^ à moins que P' ne le soit. Le polynôme P du degré m n'ad- 

 met par conséquent qu'une solution de plus que le polynôme P 

 du degré m— 1 j donc il ne peut y avoir au plus que m valeurs 

 différentes de x , comprises entre ^c et ■— i^ , qui rendent P divi- 

 sible par c. 



, , P 



Nous regarderons comme solution ou racine de l'équation — = ^, 



c 



toute valeur de x , comprise entre +7C et — ^c , qui rend le pre- 

 mier membre égal à un entier. Le nombre de ces solutions , qu'on 

 pourroit prendre aussi entre o et c , ne doit jamais surpasser l'expo- 

 sant m , comme il vient d'être démontré ; mais d'après une solu- 

 tion telle que x = k , on peut faire plus généralement x=:k + cz ^ 

 "et toutes les valeurs de a; renfermées dans cette formule , satisferont 



^. i équation — = e, 



£.33) 



