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(i33) ThÉoriîml'. Soit toujours c un nombre -premier ^ et P 

 un polynôme du degré m , lequel soit diviseur du binôme x*^* — i ; 

 je dis qu'il y aura toujours m valeurs de x , comprises entre -4-^c 

 et — ^c, qui rendent ce polynôme divisible par c. 



Car soit :*:''"■" — i=zFQ, Q étant un autre paljnome an degré 



c — 1 — 'm. Puisqu^ily ac — i valeurs de :r, sa voir dbi,db2,db3...=fc .^ 



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qui rendent le premier membre divisible par c , il faut que chacune 

 de ces valeurs rende P ou Q divisible par c. Parmi ces c — i va- 

 leurs , il ne peut y en avoir plus de m qui rendent P divisible 

 par c , parce que P n^est que du degré m y il ne peut non plus y en 

 avoir moins de m , car alors il y auroit plus de c — i — m valeurs 

 de X qui rendroient Q divisible par c; ce qui est impossible , puis- 

 que Q n'est que du degré c — i — m. Donc le nombre de valeurs 

 de X qui rendent P divisible par c , et qui sont comprises entre 

 •i-jC et — ^c, est précisément m. 



Remarque. La même proposition auroit lieu , si P étoit diviseur 

 de :»?''"' — i+c/?, R étant un polynôme d'un degré quelconque 

 moindre que c, 



( 1 34) T H É II I: M E. Si le nombre premier c est diviseur cTe x' + N" , 

 N étant un nombre donné positif ou négatif , je dis que la quantité 



c — l 



( — N^ * — 1 doit être divisible par c ; et réciproquement si cette 

 condition est remplie ^ il existera un nombre x (moindre que ^c) 

 tel que x' + N sera divisible par c. (On excepte le cas de c = 2, 

 et celui oà N est divisible par c.) 



Car 1°. si c est diviseur de x^-i-I^, on aura, en omettant les 



c — 1 



multiples de c , 37''= — N-, donco;^-' — 1=(^ — N) ' — i. Le premier 

 membre est divisible par c , donc le second doit Têtre également. 



c — 1 



a**. Si on suppose que ( — N) * — i soit divisible par c , je fais 



c — 1 



celte quantité =cr, ce qui donnera x*^^ — i — cr=x''~'' — ( — N) " . 

 Mais si l'on fait , pour un moment , c — 1=2^, — iV= M , le 

 second membre devient ^"* — M\ lequel est divisible par x^ — M 

 ou *'+ N. Donc x^+ N divise également le premier membrç 



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