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§. IL Recherche de la forme qui convient aux diviseurs 

 de la formule t^-f-au^ 



(i3G) Uans la formule t''-\-au'^^ nous regarderons a comme un 

 nombre donné positif ou négatif, et nous supposerons que t el u 

 sont deux indéterminées auxquelles on peut attribuer toutes les 

 valeurs possibles , en nombres entiers positifs ou négatifs , mais 

 avec la condition essentielle que t et u soient premiers entr^eux. 

 En effet , sans cette condition il n'y auroit aucun nombre qui ne 

 pût diviser la formule /*-f«!z/'', et il n'y auroit par conséquent 

 aucune forme particulière qui caractérisât les diviseurs de cette for- 

 mule. Cela posé , on voit que pour une même valeur de <2 , la 

 formule f + au"" représentera une infinité de nombres différens , 

 et il s'agit d'examiner la nature des diviseurs de cette formule. 



Soit p un diviseur quelconque de la formule T + a;/'', et soit en 

 conséquence t'^-\-au'' z=zPp : je dis d'abord que les nombres u et p 

 sont premiers entr'eux : car si u^ elp avoient un commun diviseur 9, 

 il est clair que 9 diviseroit Pp — au"" ou f", et qu'ainsi t et u au- 

 roient un commun diviseur , ce qui est contre la supposition. Puis 

 donc quep et u sont premiers entr'eux , on pourra (n". i3) trouver 

 deux nombres j ^t q tels qu'on ait f=:/? y -f§' ;/. Substituant cette 

 valeur dans l'équation f-^-au^'^^Pp et divisant tout par/? , on aura 



py^-\-'2qyu-\- [-- \u' = P. 



P 



Mais puisque u n'a aucun diviseur commun avec p , cette équation ne 



peut subsister a moms que ~ ne soit un entier. Donc le nom- 



P 

 hvep qui divise la formule T-f (2m% divisera également la formule 

 moins générale x'^ + a, en faisant x=^q. 



(137) Non-seulement la formule à deux indéterminées ^*-}- a?/', 

 Ti a pas d'autres diviseurs que la formule à une seule indéterminée 



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