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THÉORIE DES NOMBRES. 



§. III. ^APPLICATION de la théorie précédente à diverses 

 formules t^-hu' , t'-+-2u' , t' — 2u% Ùc. Conséquences 

 qui en résultent pour les formes générales des nombres 

 premiers^ 



(i4o) Pour avoir les diviseurs de la formule i^-^u"^ il faudra, 

 suivant la méthode du §. précédent, faire c=i , pr — q^^=-\ , 

 et q<i\/\ 5 on aura donc^=: o , /?rr=i , pz=r = i , et le diviseur 

 py''r\-7çjz-i-rz'' se réduit à y'-{-z*. Donc tout diçiseur de lafor^ 

 mule t" + u'' , composée de deux quarré^ premiers entr'eux , est 

 également la somme de deux quarrés premiers entreux. 



Ce théorème étant d'un très-grand usage dans la théorie des 

 nombres , nous cro3rons devoir en donner une seconde démonstra- 

 tion fondée sur d'autres principes. 



Soit N un nombre quelconque qui divise la somme de deux 

 quarrés premiers enlr'eux/^ + z/% on pourra supposer que les nom- 

 bres ^ et u ne surpassent pas {N ^ car puisque iV" divise i^4-z^%il 

 divisera également (t — diNy-\-(u — QNy\ or les nombres « et ^ 

 peuvent toujours être pris de manière que t — ^4 iV" et ^^-r-é'iV n'ex- 

 cèdent pas ^ N. 



Cette préparation étant supposée faite , la quantité r + "* sera 

 moindre que '-N\ ainsi en faisant f -^u'^NN' ^ on aura N'<-^N, 



Et d'abord si on avoit iV' r= i , le nombre iVseroit égal à T-fz^'', 

 et la proposition seroit vérifiée. 



Soit donc iV'>i ; puisque iV^' divise T-f z^% il divisera aussi 



(^t — ctN'y-\-(u—CN'y ; or on peut prendre «t et ^de manière que 



t—rtN' et u — CN' n'excèdent pas ^N'. Si l'on fait donc dans celte 



hypothèse 



(t^ et N'y -\-(u — CN'T = N'N\ 



on auraiV^"<7iV''. Multipliant cette équation membre à membre 



par l'équation t'' + u^:=^NN\ on trouvera que le produit peut être 



îuis sous la forme 



(t'^u'^^^N'-^CN'y + (ctN''-CN'y = NN''N'. 



