SECONDE PARTIE. inï 



Substituant dans le premier membre NN' au lieu de r-t-z/% et 

 divisant tout par N'^, on aura 



Si dans ce nouveau résultat , on avoit N"=i j le nombre iV seroît 

 égal à la somme de deux quarrés, et la proposition seroit démontrée. 



Soit donc encore iV^^> i , alors , en suivant la même marche , on 

 déduira du produit NN'^ un nouveau produit JViV '' où Ton aura 

 N'^'<i r-ZV% et qui sera exprimé pareillement par la somme de deux 

 quarrésr 



Mais la suite des nombres entiers iV, N\ N\ N"\ &e. dont 

 chacun est moindre que la moitié du précédent , ne sauroit aller à 

 l'infini j on parviendra donc nécessairement à un terme égal àFunitéy 

 et alors le nombre iVsera égal à la somme de deux quarrés. Donc 

 tout diviseur &c, 



(i4i) Revenons à la méthode générale, et proposons-nous de 

 déterminer les diviseurs de la formule ^ + 2 «^ On aura , dans ce 

 cas , <?= 2 ,pr — (f= 2 5 q<i\/^ ? donc il faut faire encore ^ = o , ce" 

 qui donne j!?r=2 , et par conséquent p == i , r:=2. Donc le divi- 

 seur pj^^4- 2 qy z-^-rz"- sera toujours de laforme j^'^ + a^'' semblable 

 à la formule dividende Z^ + sw''. 



Soit encore la formule t^ — 2 m", dont nous représenterons ûiï 

 diviseur quelconque par jq/^ + ^^j^^ — rz% on aura c=2 , pr-\-q'':='2 ^ 

 5'<V^Y. Il en résulte q=o et pr=2y ce qui donne p = i , r = 2^ 

 ou p=2 , /'=:i . Donc tout diviseur de la formule t" — 2 u" peut être 

 représenté, soit par j^'' — 2z% soit par 2j'' — ;s\ Ces deux formes , 

 au reste ^ se réduisent à ùùé seule , car nous avons déjà observé 

 qu'on a 



y— '2z' = 2Cj— ^T— (y — 2 zy. 



On trouvera de la même manière, que la formule t^Zu" ne 

 peut avoir pour divis€ur impair qu'un nombre de forme semblable 

 j^' + Sz^, et aussi que la formule f — bu"" ne peut avoir pour divi- 

 seur impair que l'une ou l'autre des deux formes j/=— 5 ^% Sy" — z". 

 Or il est aisé de voir que ces deux formes se réduisent encore 4 

 une seule , puisqu'on a 



