i^a THÉORIE DES NOMBRES. 



Donc en général tout nombre compris dans l'une des formes 

 V-{-\x% l*-f'2U% t' — 2U% t' + 3u% t' — 5u% l et M étant premiers 

 entr^eux i ne peut avoir pour diviseur cju^un nombre de même forme. 

 Il faut excepter seulement , à l'égard des deux dernières formules 

 t"4-3u*, t* — 5u^,/^5 diuiseurs doubles d^un impair^ lesquels ne 

 pourroient être des formes y^ + Sz* , y* — 5 z'. 



Ces diverses formes , qui ont l'avantage de se reproduire dans 

 leurs diviseurs , ne sont point incompatibles entr'elles ; elles se 

 trouvent au contraire réunies assez souvent, deux ou plusieurs, 

 dans le même nombre. Ainsi on a 89 = 8" -{- 5* = g* + 2 . 2* j 

 s4i = i5'-f4"=i3'-f 2. 6'=2i^— 2. 10^=7^ + 3. 8'=3i*— 5.13". 



(i42) C'est ici le lieu de développer quelques-unes des propriétés 

 des nombres fondées sur la combinaison des quarrés pairs et im- 

 pairs ; et d'abord observons qu'un quarré pair (2 x)* est toujours 

 de la forme 4 /z , et tin quarré impair (2x-\- 1)* de la forme Hn+i, 



/ X "*l" X \ X -4*" X 



En effet on a ^x'^-\-^x-\- 1 = 8 ( ) + 1 ; or est tou- 



V 2 / 2 



jours un entier, et de plus, cet entier est un nombre triangulaire (1). 



(1) Voici les différentes séries de nombres auxquels on a donné le nom d(j 

 nombres figurés : 



A 1,2,5,4,5,6 



B 1 , 3, 6 , 10 , i5 , 21 , . , . 



n 



n . n -\-i 



1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56. 



1 . 2 



n . 71+1 . n-f-a 



1.2.3 



n.n-\-i .n-\-2.n-\-3 



j . a. 3.4 



D 1 , 5 , i5 , 35 , 70 , 126 .... 



&c. &c., &c. 



La première série A est celle des nombres naturels dont le terme général est n; 

 la seconde séiip B est celle des nombres triangulaires , son terme général est 



—^ . Si de ce terme général, qui est le n^^*> terme de la série B, on retranche 



le terme précédent de la même série, lequel est 



1 .n 



, le reste sera n , qui 



çst le terme général pu u'^»»* terme de la série A Donc on foiroera le n'^™« terme 



Puisque 



