SECONDE PARTIE. 193 



Puisque y* et z'' ne peuvent être que de l'une des formes i 72,8 72 + 1 > 

 on établira immédiatement les trois propositions suivantes : 



1°. Tout jicmbre impair représenté par la formule y* + z* est de 

 la forme 4 n -f i . 



2°. Tout nombre impair représenté par la formule y''4-2 z* est 

 de Vune des formes 8n~l- 1 j 8n-l-3. 



I 3^. Tout nombre impair représenté par la formule y* — 2 z* est 

 de Vune des formes 8 n + 1 , 8 n + 7, 



De ces trois propositions résultent , par voie d'exclusion , ces 

 trois autres : 



4°. ^ucun nombre de la forme 4n — i ne peut être représenté 

 par y^-Yz"", 



5°. ^ucun nombre des formes 8n-f 5 , 8n-l- 7 ne peut être repré"» 

 sente par y»+ 22''. 



6". ^ucun nombre des formes 8n + 3, 8n + 5 ne peut être repré" 

 sente par y^ — 2 z". 



Cela posé , il sera facile de démontrer les quatre théorèmes 

 suivans , qui sont d'une grande importance dans la théorie des 

 nombres. 



de la série B , en ajoutant le (n — i)i<inie terme de la même série avec le /l'ème ^ç 



la série A. 



La troisième série C est celle des nombres pyramidaux , dont le terme général est 



n. 71 + 1.71+2 . _ , , , ,, n — \,n.n-\-x 

 r, ; SI de ce terme on retranche le précèdent , la du- 



1-2. 5' '^ 1.2.5 



F' 71.7Î-4-1 .... ,,,.^^ n 



terenco sera .qui est le n"^^^ terme de la série B. Donc on peut former 



1.2 ^ 



la série C au moyen de la série JB , comme on a formé celle-ci au moyen de la 



série A. 



Il en est de même de la quatrième série D ^ qui est celle des nombres triangulo- 



7 • .11 r > 1 7X. 71-4-1 . 7l4-2 .71 4-3 . . , 



triangulaires, et dont le terme gênerai est ^ — , et ainsi des autres. 



Les termes généraux que nous donnons ici comme définitions , et d'où nous 

 déduisons la loi de formation successive , renferment toute la théorie des nombres 

 figurés , et offrent immédiatement la démonstration d'une proposition générale 

 dont Fermât fait mention dans ses notes sur Diophante, pag. 16, et qu'il regar- 

 doit comme une de ses principales découvertes. 



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