jg4 THÉORIE DES NOMBRES. 



(i43) ThéorêmeI. Tout nombre premier 4n-f i est la somme 

 de deux quarrés. 



Soit ce nombre premier c=4/z+i , on aura a;"^^— i = a7^"— i 

 ^-.^^'"'-{■i) (x"' — \); donc (n°. i33) il y aura 2/2 valeurs de ^ , 

 comprises entre +^c et — ^c, qui rendront x^^-V 1 divisible par c. 

 Mais a;'"-!- 1 est la somme de deux quarrés premiers entr'eux , donc 

 (n°. i4o) son diviseur c est également la somme de deux quarrés 

 premiers j donc on pourra toujours supposer c=:y' + z\ (1). 



Remarque. La forme 4/2+1 renferme les deux formes Stz+t , 

 ;87z + 5; donc tout nombre premier soit de la forme 8/2+1, soit 

 de la forme 8/2 + 5 , est la somme de deux quarrés. 



(i44) Théorème II. Tout nombre premier 8n+i est à-la- 

 fois des trois formes y" + z% y*+ 2 z% y =^—2 z\ 



Soit ce nombre premier c — 8/2+ 1 , on a déjà prouvé qu'il doit 

 être de la forme jk'' + -s% ainsi il reste à démontrer qu'il est en 

 même temps des deux autres formes ^* + 2z% y"" — iz". Or on a 

 a?--^— 1 r=^'" — 1^(^^^"— Orar^^+O;, donc (n°. i33) il y a 4/2 

 valeur de x , comprises entre +^c et — ^c , qui rendent le binôme 

 07^''+ 1 divisible par c. Mais d'abord le binôme a;^"+ 1 peut se mettre 

 sous la forme (^^'"— 17 + 2.0;'% laquelle est comprise dans la for- 

 mule ^=^ + 2//% t et u étant premiers entr'eux 5 donc son diviseur c 

 est de la forme ;)^'' + 2 2'. 



En second lieu , le binôme a;'^"+i peut aussi se mettre sous la 

 forme (fA;^"+ 1/— 2 x''^ laquelle revient à f— 2 z/" j donc son divi- 

 seur c doit être également de la forme jr* — 2 <s% 



Donc tout nombre premier 8/2+1 est à-la-fois des trois formes 

 y> + 2% y" + 2 s% j' — 2 z". Et pour en donner un exemple , 

 73 = 8^ + 5" = 1 = + 2. 6^ — 9^ — 2. 2\ 



(1) Il a été démontré (n°. 42) qu'on peut toujours satisfaire à l'équation 

 x^-,cy^z=—\ j il s'ensuit donc que c est diviseur de x^'\-i , et qu'ainsi c est 

 de la forme y'^+2^ La même chose se tire encore du n°. i3i , où l'on a trouvé 

 une somme de deux quarrés aa+i dont c doit être diviseur. 



