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(i45) Théorème III. Tout nombre pj^emier 8n + 3 est de la 

 forme y ''H- 2 z*. 



Car en faisant c = 8 7z-f 3, et prenant en particulier .r = 2 , la 

 formule x'-'—i devient 2'"+*— 1 = ("2^"+'— O jf2^"+' + i;j donc 

 il faut que Fun de ces facteurs binômes soit divisible par c. Mais si 

 le premier facteur, qui est de la forme 2/'' — w% étoit divisible par c, 

 le nombre c lui-même seroit de la forme 1 y'' — ^^ ou j"" — 2 z^^ 

 laquelle, comme on Fa vu n". lii , ne peut convenir à aucun 

 nombre 8/z+3. Donc c divise nécessairement le second facteur 

 2. 2'^"+!, lequel est de la forme r-5-2«% donc c est de la même 

 ïoxme y -\- 2 z^ , (1). 



(i46) Théorème IV. Tout nombre premier 8'n+7 est de la 

 forme y* — 2z*. 



Car en faisant = 8/2 + 7, et prenant encore a; = 2 , on aura 

 x"-'' — 1 — f2^""*'^4-i^ ('2'^""^^ — \); le premier membre (n°. 129) doit 

 être divisible par c , donc il faut que c divise Fun des facteurs 

 du second membre. Mais en doublant ces facteurs , et faisant 

 '2^'"^^T=k , ils deviennent ^" + 2, k.^ — 2 ; or si c divisoit ^^ + 2, il 

 seroit de la forme 7*-}-2 2'' laquelle (n''. i42) ne peut convenir à 

 aucun nombre 8 /z-J-y. Donc c divise nécessairement Fautre facteur 

 /t" — 2 , donc il est de la forme jj^*" — '2 -s*. (2). 



Corollaire général. 



(147) Il suit de ces quatre théorèmes , que les nombres premiers 



(1) On a démontré ci-dessus , n°. 43 , que c étant un nombre premier 8 /i-|-3, 

 il est toujours possible de satisfaire à l'équation x'^ — '^JV'* = — 2 : de-là il résulte 

 fort direclement que c est diviseur de «* + 2 , et qu'ainsi c est de la forme 



(2) C'est encore ce qu'on peut déduire immédiatement de la proposition du n°. 44; 

 car puisque , suivant cette proposition, l'équation x" — cy'^ =2. est toujours pos- 

 sible , il s'ensuit que c divise x'^ — 2, et qu'ainsi c est de la forme y' — 2z*. 



Ces quatre théorèmes, et quelques autres semblables, ont été découverts paf 

 Fermât; mais les démonstrations de ce savant ne nous ont point été transmises. 

 Euler a démontré le premier et le second dans les nouveaux Comment, de Péters- 

 bourg ; Lagrange a démontré les autres dans les Mém. de Berlin, ann. 1775. 



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