196 THÉORIE DES NOMBRES. 



impairs étant distribués en quatre classes ou espèces 872+ i, 8/z+5, 

 87z-f5, 8/Z-I-7, on peut établir les propriétés suivantes qui dis- 

 tinguent deux espèces de deux autres : 



1°. Les nombres premiers 8n-{- 1 , 8n + 5 , sont, exclusivement à 

 tous autres y de la forme y' + z^ 



2°. Les nombres premiers 8n+i}8n + 3, sont , exclusivement 

 à tous autres , de la forme y ''4- 2 z^. 



5°. Les nombres premiers 8n+i, Sn + y, sont , exclusivement 

 à tous autres , de la forme Y — 2 z^ 



D'où Fon voit que la seule espèce S/z+i , dans laquelle l'unilé 

 est comprise , réunit les trois propriétés , et que chacune des trois 

 autres espèces ne jouit que d'une seule de ces mêmes propriétés. 



A Faide de ces théorèmes , il est facile d'évaluer l'expression 



(-\ selon les diverses formes du nombre premier c. On se sou- 



C — 1 



viendra que cette expression désigne le reste de 1 ^ divisé par c y 

 reste qui ne peut être que +1 ou — 1. 



(i48) Théorème V. L'expression Ç-^sera égale à +1 , si 



le nombre premier c est déforme 8n-|- 1 ouSr\-\-j -, elle sera égale 



à — 1 , si le nombre premier c est de Vune des deux autres formes 



8n-{-3, 8n4-5. 



Car i"". si c est de l'une des formes 8n+i , 8n + 7, on pourra 



faire c =j* — 2 2^j ou 2z^=jk° — c. Élevant chaque membre 



c ~~~ 1 



à la puissance et négligeant les multiples de c , on aura 



2 



c 1. 



2~^z'^-i =JK^~' 5 tnais en omettant ces mêmes multiples , on peut 



c 1 



faire (n°. 129) jk'~' =i , z'-^ — i- Donc 2 ^ =1 , ou suivant notre 

 notation abrégée ^- j = i. 



2°. Si c est de la forme 8 7z + 5^ on pourra faire c=y"-r2z% 

 ou 2^^ = c — y^. Élevant chaque membre à la puissance — — et 



