igS THÉORIE DES NOMBRES. 



§. I y. Oà Von prouve que tout norribre entier est composé 

 de qiiatre ou d^un moijidre nombre de quarrés. 



IN o u s commencerons par démontrer la proposition suivante , qui 

 n'est pas seulement subsidiaire pour Tobjet que nous avons en vue , 

 mais qui contient une propriété très - remarquable des nombres 

 premiers. 



(i4g) Théorème. Etant donné un nombre premier K et deux autres 

 nombres quelconquesV> et C , positifs ou négatifs , mais non divisibles 

 par A 3 je dis qu'on peut toujours trouver deux nombres l et n , 

 tels que la quantité f" — Bu^ — C soit divisible par k. (Lagrange , 

 Mém. de Berlin 1770.) 



Car 1°. si Ton peut trouver un nombre u tel que Bu^'-VC soit 

 divisible par ^ , on prendra pour t un multiple de ^d , et la for- 

 mule f-^Bu^ — C sera divisible par ^. 



2°. S'il n'y a aucun nombre qui remplisse cette condition , faisons 

 pour abréger ^= 2 «+ 1 , i5z^' + C= /^, la quantité dont il s^agit 

 r—Bu'' — C ou f^V étant un diviseur de i"" — Z^'^, on pourra 

 faire le quotient 



et on aura 



(e^V) P = t'^—V" = t''— 1 — (J^'^—i), 

 Soit Q— /^'^H- 1 , et en multipliant de part et d'autre par Q , on aura 



Mais d'après le théorème de Fermât (n°. 129) , on sait que le second 

 membre est divisible par A , pourvu que ^ et /^ soient premiers 

 à A. Donc si , outre ces deux conditions , on peut faire en sorte 

 que A ne divise ni jP ni Q , on en conclura avec certitude que 

 V — /^est divisible par ^, ce quiestrobjetde notre démonstration. 

 Mais d'abord on a supposé que /^ n'est jamais divisible par A ; 

 et pour que t ne le soit pas , il suffit de prendre pour t l'un des 

 nombres i, 2, 3.... ^—1. Ainsi les deux premières conditions 



