200 THÉORIE DES NOMBRES, 

 gées, et ainsi les nombres ^ et u sont toujours déterminables , de 

 manière que la quantité r— 7?^=^— C soit divisible par le nombre 

 premier u^. 



Corollaire. Si l'on fait B^C==—i, on conclura de cette pro- 

 position, que tout nombre premier ^ est diviseur de la formule 

 p-^t-u^-^i. C'est ce qu'Euler a démontré le premier dans le Tom. V 

 jies nouveaux Commentaires de Pétersbourg. 



(i5o) Lemmp. Le produit d'une somme de quatre quarrês -par 

 une somme de quatre quarrés , est semblablement la somme dç 

 /quatre quarrés. 



Il suffit , pour s'en assurer , de dévebpper k formule suivante , 

 qu'on trouvera êlre identique : 



:= (pp-Vqq'-Vrr'-Vss'y:^ (p q'—qp -\-rs'—sr'y 

 + (pr'—qs'—rp'^sq')' + (p s -^qr'—r q'—sp' )\ 

 Dans cette formule , on peut changer à volonté le signe de chacune 

 des lettres qui y entrent , ce qui donnera plusieurs manières de 

 décomposer en quatre quarrés le produit dont il s'agit (i). 



Remarque. Ce beau théorème d'algèbre est encore dû à Euler j 

 il a été généralisé depuis par Lagrange dans les termes suivans ; 

 (Mémoires de'Berhn, année 1770), 



Çp^^Bq^—Cr^-VB Cs--) (p'^^-Bq"-- Cr'^-\-B Cs'^) 

 ^ (pp'-\-Bqq'z±:.Crr'd=.BCss'r—B(pq'-Vp'q^Crs'±Cr'sy 

 _ C(pr'—Bqs':^rp'-=^Bsq')'-\-BC(qr'—ps'd^sp'^rq')\ 



(i) On peut s'assurer qu'il n'existe aucune formule semblable pour trois quarrés, 

 c'est-à-dire que le produit d'une somme de trois quarrés par une somme de trois 

 quarrés , ne peut pas êlre exprimé généralement par une somme de trois quarrés,^ 

 Car si cela étoit possible , le produit (i + i + i; (i6+4-}-i), qui est 63 , pourroit 

 ge décomposer en trois quarrés. Or cela n'a lieu ( n°. i53 ) ni pour le nombre 63 , 

 ni pour aucun nombre 8 n-\-7- 



Par la même raison, ou par l'exemple de (1+4-1-2 . 4) (o-i-4-1-2 . i) , on dé- 

 montreroit que le produit de deux formules telles que p'^-hg"+2r%p'»-i-q"^ + 2r'' 



pe peut géncraleraent être égal à une formule semblable »*-l-y''-i-2z*, 



On 



