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On voit par cette formule , que deux fonctions de la forme 

 x^ — Bj^ — Cz^ + B Cu'', B et C étant des coefïiciens constans , 

 donnent pour leur produit une fonction semblable. Donc un nombre 

 quelconque de semblables fonctions multipliées entr'elles , donne- 

 roient pour leur produit une fonction semblable. 



(loi) Théorème. Tout nombre premier A est de la forme 

 p=4.q= + r= + s% 



On a prouvé (n°. Ug) qu'il existe toujours deux nombres tetu^ 

 tels que r + z/*+ 1 est divisible par ^. Mais si à la place de t et za 

 on met t — ^ a. el u — ^é", le résultat (t — ^ct)'''\-(u — ^cy+i 

 sera encore divisible par ^ ; on peut donc supposer que les pre- 

 mières valeurs àe t ai u sont moindres que 7^, ou qu'elles ont été 

 rendues telles en en retranchant des multiples de ^. Cela posé , si 

 l'on fait 



^^' = t^. + u''-\-i , 



onaura ^^'<^^^ + i^*+i, ou-^'<^^+-^. 



Considérons plus généralement l'équation 

 ^ ^'= /7=^ 4- ^^^ + r= + 6'% 

 dans laquelle chacun des nombres p , ç,r,s sera supposé moindre 

 que ^^, on aura ^'^< J^^ , ou ^'<^. Et d'abord si on avoit 

 -^^'=1 5 il est clair que ^ seroit égal à la somme de quatre quarrés^ 

 et la proposition seroit démontrée. 



Soit donc ^'>i , et parce que ^' est diviseur de /?'-{- ^' + r'-|- 5% 

 il sera aussi diviseur de la quantité (p — ct^'/-Jr(q — C^')^ 

 -^(r-^yA'y^rCs — S^'y^ «, é", y^ cT étant pris à volonté. Sup- 

 posons qu'on prenne ces indéterminées de manière qu'aucun des 

 termes/?— -et ^', q — C^'^ &c. n'excède ^^-4', alors si l'on fait 



^'^"=(p—<t^')^+ (q—^^'T^Çr — yA'y^Cs — ^^'y^ 

 on aura A'^"<:i\A'^' ou ^"<A', Maintenant si au moyen 

 de la formule du n°. i5o on multiplie la valeur ^e A A' par celle 

 de A' ^\ on trouvera pour produit une somme de quatre quarrés 

 dont chacun est divisible par ^' ^' y de sorte qu'en divisant tout 

 par ^'*, on aura 



•^^"^CA — a.p-^Cq^yr—S'sy^ (aq-~Qp^ys-—S'ry 



Ce 



