202 THÉORIE DES NOMBRES. 



Cela posé, si on a A"^=\^ la proposition sera démontrée; maîsf 

 si on ^ A'"^! , on procédera de la même manière pour obtenir un 

 nouveau produit udud'" exprimé par quatre quarrés , et dans lequel 

 on aura ^'" <iA" . Continuant ainsi la suite des entiers décrois- 

 sans ^ , A' ^ A" . A'" ^ &c. , on parviendra nécessairement à un 

 terme égal à Funité ; donc alors le nombre premier A. sera exprimé 

 par la somme de quatre quarrés. 



(i52) Théorème. Un nombre quelconque est la somme de 

 quatre ou d'un moindre nombre de quarrés (i). 



C'est une conséquence immédiate de la proposition qu'on vient 

 de démontrer , et du lemme qui la précède ; car un nombre quel- 

 conque étant le produit de plusieurs nombres premiers égaux ou 

 inégaux, et chacun des facteurs étant de la forme jo* + ^*H-r^ + A^% 

 si on multiplie deux facteurs entr'eux , puis le produit des deux 

 par un troisième, puis le produit des trois par un quatrième , &c. 

 jusqu'à ce que tous les facteurs soient employés , il est clair que 

 les produits successifs seront toujours la somme de quatre quarrés. 

 Donc le produit final , qui est le nombre proposé , sera aussi la somme 

 de quatre quarrés , et pourra être représenté par p'-|-5'^ + ^'' + <s^ 

 Rien n'empêche d'ailleurs qu'un ou plusieurs des quarrés p'' ^q"" ^r"" y^* 

 ne soient zéro; donc un nombre quelconque est égal à la somme de 

 quatre ou d'un moindre nombre de quarrés. 



(î55) Il n'est point de nombre entier qui ne soit compris dans la 

 ïoimu\e p'' -\- q"" -\- r"" -\- s'' ^ mais ils peuvent, pour la plus grande partie, 

 être représentés par la formule plus simple p^' + ^'^'-fr^. En général, 

 on peut affirmer que tout nombre impair est de la forme p"" -[- q° -f r% 

 excepté seulement les nombres Sn-f-J. 



On excepte les nombres S/z-fy , parce que si des trois termes 

 p ^q^r^ deux sont pairs et le troisième impair, la formule j»''-|-^'' + r'' 

 sera de la forme ^n-\-\ ^ ç^X. si les trois nombres p •> q^ r sont im- 

 pairs , la formule p"" ■\- q"" -^ r"" sera de la forme 8/2 + 3. Donc aucun 

 nombre 8/1 + 7 ne peut être la somme de trois quarrés. 



(1) Lagrange est le premier qui ait donné la démonstration de ce beau théorème 

 (Mém. de Berlin 1770) : cette démonslration a été ensuite beaucoup simplifiée 

 par Euler dans les Ac\a Pelroj^. an. 1777. 



