SECONDE PARTIE. 2o3 



Si dans la formule p^ -[■ cf -V r^ -V a" on suppose deux termes égaux , 

 on aura une nouvelle formule p* + §'* 4- 2 r% laquelle est encore très- 

 générale 5 car on peut affirmer que tout nombre impair , sans excep» 

 tion, est de la forme p^' + q^'+s r''. 



Ces propositions seront mises ci- après dans un plus grand jour : 

 observons quant à présent , que les deux formes /?' + §'''+ r* , 

 p» -1-^*4. 2 7'* dont il est question dans ces théorèmes, ont entr'elles 

 une telle relation , que le double de Tune reproduit l'autre. C'est 

 ce qu'on voit par les formules 



s (p'-Vq^-\-r') = (p-^qT H- (p—qT-Vir^ 



l(p' + q''-^2r^)=^(p-\-q)'-^(p — qr-\-ir\ 



(i54) La proposition que nous avons démontrée dans ce para- 

 graphe , fait partie d'une propriété générale des nombres polygones 

 découverte par Fermât , et dont nous ne pouvons nous dispenser 

 de faire mention. Mais d'abord il faut , en faveur de quelques lec- 

 teurs , expliquer ce qu'on entend par nombres polj^gones. 



Si on considère différentes progressions arithmétiques qui commen- 

 cent toutes par l'unité , et dont les raisons soient successivement 

 1 , 2^3,4, &c. 5 si ensuite , par l'addition des termes de chaque 

 progression , on forme une suite correspondante , ces différentes 

 suites composeront ce qu'on appelle les nombres polygones ; elles 

 sont comprises dans le tableau suivant : 



Progressions arithmétiques. Suites des nombres polygones. 



1,2,5,4,5 n 



ÏJ^, 5, 7,9 272—1 



1,4,7,10, i5.., 3/2 — 2 

 ï , 5, g, i3, 17 , .- 4;z — 3 



^>*'h i)2«t+ 1,. . 72a— ijt-j-i 



1 , 3, 6, 10, i5.^ 1\% /> . . . . ~ 



2 



1,4,9, ^^-» ^^* • • • " 

 1,5, 12 j 22, 35. . . . 



n' 



n Càn — 1^ 



1 , 6, i5, 28, 45. A^». . n(2.n — \) 



n(n — 1^ 



l,ec-}-2,3«t + 0, ... et + « 



C c a 



