SECONDE PARTIE. 2o5 



Un nombre quelconque -peut être formé par l'addition de trois 



nombres triangulaires ; il peut être formé également par l'addition 



de quatre quarrés , par celle de cinq nombres pentagones , par celle 



de six hexagones ^ et ainsi à V infini,. 



(i55) Soit donc ^ un nombre donné , et *, jKj z ^ &c. de.^ 

 nombres indéterminés , les difierentes parties du théorème général 

 pourront se détailler de la manière suivante : 



1°. Quelque soit le nombre donné A ^ on pourra toujours s atis^- 



x'+x y'+y z=-fz 

 faire à V équation A = 1 1 , ou , ce qui re- 



^ ^ 2 2 2 



ifientau même ^àV équation 8 A + 3^(2 x+ i)" + ('-2 y + 0^ + (2 z-1- i)^ 

 Cette première partie , si elle étoit démontrée , prouveroit que 

 tout nombre de forme 8 « + 3 est la somme de trois quarrés. Réci- 

 proquement , s'il étoit prouvé que tout nombre 8;z + 3 est la somme- 

 de trois quarrés , il s'ensuivroit immédiatement que tout nombrer 

 entier est la somme de trois triangulaires. 



2°. Quel que soit le nombre donné A , on -pourra satisfaire à 

 V équation A = x^ + y''-l-z'' + u^. 



Cette seconde partie a été démontrée ci-dessus d'une manière 

 qui ne laisse rien à désirer : cependant il ne sera pas inutile de 

 faire voir que la première partie a une liaison nécessaire avec la 

 seconde. En effet , s'il étoit démontré qu'on peut toujours satis- 

 faire à l'équation 



8^ + 3=: ^7=^+^' + ^% 



on tireroit de-là 8^ + 4 =a;''-1-jk'' + z^+ 1. Mais les quatre quarrés 

 du second membre ne pouvant être qu'impairs , les nombres x-Yy^ 

 X — -JK) -^+15 -2 — 1, seront pairs, et ainsi on aura en nombres entiers : 



ou pour abréger , 



4^ + 2 — x"'-\- y'^-V z'^-\- u!\ 



Or de ces quatre nouveaux quarrés deux doivent être pairs ef deu* 



impairs , sans quoi la somme ne pourroit être 4^+2, on aura donc 



4^+2=:4a^+ 4Z>^+ (^20+]/+ (f2f/+l/y 



d'où Fon déduira 



'xA-\r 1 = (a-Vby-V (a-'by-^- (c-\-d-\- 1/+ (c—d)\ 1 



k 



