2o6 THÉORIE DES NOMBRES. 



Donc la première partie de la proposition générale , celle qui con- 

 cerne les nombres triangulaires , étant supposée , il s'ensuit , comme 

 conséquence immédiate, que tout nombre impair 2^+1 est la 

 somme de quatre quarrés. Mais si un nombre est la somme de 

 quatre quarrés m''-\-n''-{-jD''-'rç^, son double sera aussi une semblable' 

 somme , puisqu'on a 



-2 (m'^n'+p' + q^) = (m-\-nT-V (m—nT-\- (p-¥qT-V (p—q)"- 

 Donc un nombre quelconque est la somme de quatre quarrés. 



On voit par-là que la première partie du théorème de Fermât 

 renferme implicitement la seconde , et puisque celle-ci est démon-» 

 trée rigoureusement par une autre voie , on doit regarder la pre- 

 mière comme déjà pourvue d'un grand degré de probabilité, 



3°. La troisième partie du théorème général donne 



^ = f. -^ i -j. + • {- , 



22322 



OU 



24^H-5 = r6:r— i/+f6j— i/ + r6^— i/-F(^6/— i;^-l-f6z/— 1/; 

 de sorte que l'énoncé de cette proposition particulière revient à 

 celui-ci : lout nojnhî^e de la forme 24A-1-5 est composé de cinq 

 quarrés dont les cotés sont de la forme 6/7z — 1, 

 4°. La quatrième partie donne 



y^ = X(2X l)-'rj('2J l)'\-z(2 Z \) + s(2S l)-\-t(2t l)-\-l/(2U — 0, 



ou 

 ]^-\-6=:(ix—i/ + Ciy—i/^Ciz—i)'-{-(4:S—i/-^(it--i/-{-Ciu-^i)\ 

 Il faut donc que tout nombre 8A-|-6 se décompose en six quarrés 

 dont les côtés sont de forme 4 m — i. 



En général , la proposition dont il s'agit se réduit toujours à la 

 décomposition d'un nombre donné en quarrés , et toutes les propo-i- 

 sitions partielles sont contenues dans cette formule générale : 



%^A'V(ct^l)(<i.-^'2yr=(l^X—ct-\-iy-\- (2ctJ—ct + 7/+ &C, 



Je uonjbre des termes du second membre étant «* + 2. 



