2o8 THÉORIEDES NOMBRES. 



l.R première fait voir que f et /z' doivent être des nombres im- 

 pairs ; la seconde que tt' est un nombre pair. Celle-ci , au reste , 

 renferme la première j car si '^' est pair, il faudra bien, d'après 

 l'équation jr«'=^77-'-{-i , que /"et n soient impairs. 



Cela poséj on aura a = — i y c'est-à-dire que « +i sera di- 

 visible par p. 



Et comme les seules suppositions à faire sont celles de 7r=i et 

 de ■t!r>>i , on peut établir le théorème général qui suit : 



(167) Tout nombre premier p qui dipise la formule a'^+ij doit 

 être ou de la forme 2 n x + 1 j ou tout au moins de la forme né- 

 cessàire pour diviser une autre formule a + 1 dans laquelle V ex- 

 posant ft) est le quotient de n divisé par un nombre impair. 



Ce théorème s'appliquera de même aux diviseurs de a + 1 , et 

 fera connoître ainsi, de proche en proche, toutes les formes dont 

 sont susceptibles les diviseurs de la formule proposée <2"-fi. Voici 

 quelques corollaires principaux qu'on en déduit immédiatement, 

 et qu'il suffira d'énoncer, 



1°. Si l'exposant n est un nombre premier impair , tout nombre 

 premier qui divise la formule a"-}- 1 doit être de la forme inx + 1 9 

 pu au moins il divisera «-j-i. 



1^. Si l'exposant n est une puissance de 2 , la formule «"+1 

 ïie pourra avoir pour diviseur que les nombres premiers compris 

 dans la forme inx-^x. 



Ainsi si l'on veut chercher les diviseurs premiers de 2^^+i 

 = 4 294 967 297, ils doivent être contenus dans la formule 64a7+ 15 

 on essaiera donc successivement igS , 267, 44g, ^'J'J •, 64i. 

 La division réussit par 64 1 , et on trouve le quotient 6700 417. 

 Pour trouver les diviseurs de celui - ci , il faut essayer de même 

 tous les nombres premiers de la forme 64a;+ 1 , plus grands que 

 64i , et moindres que 2688= v/6700417; ce sont 769 , ii53, 

 1217, i409, 1601, 21 13. Et comme aucun de ces nombres ne divise 

 6700 417, on en conclura, avec assurance, que 6700 417 est uu 

 pombre premier. 



3°. Si on a /z = ^ f , ^ étant un terme de la progression 2, 4 , 8, 



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