510 THÉORIE DES NOMBRES. 



Je considère d^abord les formules inférieures 2'^+i, 2^+1, 

 2 '-fi; la dernière donne 3 pour diviseur de toutes les formules 

 précédentes. 



La formule 2^+1=9^ ne donne encore que 3 pour diviseur 

 premier 5 elle apprend de plus que ^^ sera divisible par g. 



La formule 2'^+i =8ig3 = 3. 2731 , si elle a un autre diviseur 

 que 3, ne peut en avoir que dans la forme qSx-^- 1 5 mais comme 

 le moindre nombre premier compris dans la forme 26:1;+ 1 , est 53 

 déjà trop grand , puisqu'il excède la racine de 2731 , il s'ensuit que 

 2731 est un nombre premier, et qu'ainsi 2'^+i n'a pas d'autres 

 facteurs que 3 et 2731. 



Cela posé, le nombre ^ doit être divisible par g. 2781 5 si on 

 le divise d'abord par 3.2731 , qui est la même chose que 2'^+i', 

 le quotient sera 2"^ — 2'^ + i, ou 6j 100 673, et celui-ci étant 

 divisé par 5, on aura ^:/ = 3''.273i . 22 366891. 



Il ne reste donc plus qu'à Ghercher les diviseurs du nombre 

 J5?=22 5668915 ces diviseurs doivent être de la forme 78a:-|-i , 

 et puisqu'ils doivent aussi diviser la formule T-f 2 , ils ne peuvent 

 être que de l'une des formes 8 « + 1 , 8 « + 3. Mais la forme 78 a; + 1 > 

 en comprend quatre autres , selon que x est égal à l'un des nom- 

 bres 4j/, 4j^-|-i, 4jK + 2, 4j/ + 3; ces quatre formes sont: 



'àiny+i, 5i2j + jg , ?>i2y-¥i5j-, 3i2j^ + '^35. 

 La seconde et la troisième doivent être exclues comme étant com- 

 prises dans 87z-r7 et 8/z+5; ainsi tout nombre premier qui divi- 

 sera B doit être renfermé dans l'une des deux formes 



3i2j^+i 5 3i2y + 235. 

 Les nombres premiers compris dans ces formes , et en même temps 

 moindres que \/B , qui est environ 4620, sont 3i3, 547 ^ ^^9> 

 937, 1171, 124g, i483^ 1^73, 2731, 3i2i, 3433, 4o57, 4^03. 

 Si on essaie successivement ces treize nombres , ou seulement 

 douze (car il est inutile d'essayer 2731) , on trouvera qu'aucun 

 d'eux ne divise B ; d'où l'on conclura que 22 366 8g i est un nombre 

 premier. 



Le nombre B étant diviseur de ^ + 2 , doit être de la forme 

 p*-^2q^', si on veut réellement mettre B sous cette forme , on le 

 pourra sans tâtonnement à l'aide de la formule suivante : 



