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4:m^'-^2m*-{-i /2m'±2m — 1\* /^m'^m — 1 \* 



C — 3 — ) + = C — 3 — ) • 



Or on a ^= ■ ; donc si on fait m^=:.i^^ on trouvera 



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(iGo) Venons maintenant à la seconde question , et proposons- 

 Dous de trouver la forme que doivent avoir les diviseurs premiers 

 du nombre donné o" — 1. 



•Quel que soit le nombre premier 7? qui divise cette formule, 

 on peut le supposer de la forme ]p-=.nx-\-'7T ^ tt étant un nombre 

 positif moindre que n. On aura donc , en rejetant les multiples de/7, 

 «"==1, et a''"'^!, d^où résulte a^""* = 1. Dans cette dernière 

 équation, on ne peut supposer que -77-= 1 , ou 7r>»i. 



1°. Si on a tt^i , la forme du diviseur est ■p-=nx-\-\\ elle 

 restera ainsi tant que n sera pair; mais si n est impair, il faudra 

 nécessairement que x soit pair, et ainsi on aura p= 2722-}- 1. 



•j°. Si on a '7r>>i, soit « le plus grand commun diviseur de n 

 et de 71- — 1 , (w devant être 1 lorsqu'il n'y a pas d'autre mesure 

 commune) on pourra toujours trouver deux entiers y et ^, tels 

 €{\xe fn — g(7r — i)z=:u). Or les deux équations a"=i , a =1, 



onnent i=a^ =a^^ =a,oua =i,doncj3 sera diviseur 



de a — I ; et ici il n'y a aucune restriction à apporter au résultat 

 a'=i, parce que l'équation 0=1 satisfait aux deux a"=i , 



a ^=\. 



Cela posé, toute la théorie des diviseurs de la quantité a" — 1 

 est comprise dans le théorème suivant. 



(161) Tout nombre premier p qui divise la formule a" — 1 , doit 

 être compris dans laforn}e p — nx+ 1 , ou au moins doit être divi- 

 seur de la formule a — 1 , dans laquelle u est un sous - multiple 

 de n. 



Ajoutons que si n est impair , auquel cas la forme nx-\- 1 devient 

 2/îz+i , le diviseur j3 doit encore être compris dans les formes 

 qui conviennent aux diviseurs de la formule x^ — a. 



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