312 THÉORIE DES NOMBRES. 



Le même théorème s'appliquant à la formule a — i , ou à telle 

 autre qui résulte immédiatement des diviseurs de tz, on aura , par 

 la combinaison des résultats , tous les diviseurs de la formule pro« 

 posée. Voici quelques corollaires généraux qui en résultent. 



1°. Si le nombre n est premier , tous les diviseurs de la formule 

 fl" — i seront compris dans la forme 27Z;2-i-i , il faut seulement en 

 excepter ceux qui peuvent diviser a — i. 



2°. Si le nombre n est le produit de deux nombres premiers ys. 

 et f (2 excepté) , le diviseur premier jd de la formule a" — 1 sera de 

 la forme inz-^- 1 ; ou bien il divisera a" — 1 , et sera de la fornie 

 2iW-s+i ; ou bien il divisera a — 1 et sera de la forme ivz+i 5 

 ou enfin il divisera a — i et sera de la forme 2 z-4- 1 , laquelle con- 

 vient à tous les nombres premiers. En effet , lorsque 7Z est impair , 

 il est évident que a — 1 divise o" — 1 5 donc tout diviseur de la pre- 

 mière quantité doit être diviseur de la seconde. 



5°. Si le nombre n est une puissance de 2 , et qu'on fasse et = ^n, 

 ^ = 7*, y=:{C ^ &c. le diviseur /7 de la formule a" — 1 sera de 

 la forme nx-'ri , ou bien il sera de la forme ecx+i et divisera la 

 formule a" — 1 , ou bien il sera de la forme Cx+i et divisera la 

 formule a^ — 1 , ainsi de suite jusqu'à la forme 2x-^i qui divisera 

 la formule a"" — i. 



Exemple I. 



(162) Pour avoir tous les diviseurs du nombre ^= 2"" — ^1, nous 

 formerons le tableau suivant , où l'on voit la formule proposée et 

 celles qui s'en déduisent , avec les formes correspondantes du 

 diviseur : 



p= 52 X+l, , , . , , , ^ r= 2^' 



= ('2''-Jri) B 



.-r2« + i; c 



= (2^ + ^ 

 = C2' + i; E 



r=3 



p — i6x+i B — 2'^- 



p = 8^+1 ' C = 2'—] 



p =z 207+1 £=^2" ] 



Le dernier nombre E , qui se réduit à 5 , doit diviser tous les 

 précédens , et d'abord on a D= (2' + 1 ) , 5 = 5 . 5 -, ensuite 

 €=(2^+1)0 = 5,5,1^. Le nombre B contient les mêmes divi- 

 seurs que C, et de plus a** + 1 = 257 , lequel est un nombre premier. 



