SECONDEPARTIE. s, 3 



Enfin -^ est le produit de iîpar 2'^+ 1 =65537. Or comme 2'^+ 1 

 ne peut avoir aucun diviseur commun avec B qui est 2'^ — i, il 

 s'ensuit que 2*^+1 ou 65537 "® P^^^*- avoir pour diviseur que des 

 nombres premiers de la forme 32^+ 1. Mais les nombres premiers 

 contenus das® cette forme et moindres que \/6555j sont 97 et 

 193 , lesquels ne divisent point 65537» Donc 65537 est un nombre 

 premier, donc le nombre ^ décomposé en ses facteurs premiers 

 ==3.5. 17.257.65537. Si on multiplie cette valeur par celle qu'on 

 a trouvée (pag. 11) pour 2^^-|- 1 , on aura là valeur décomposée de 

 2^^— 1. 



ExempleIÏ. 



(i63) Soit encore proposé le nombre ^ ■= 2^' — 1 j comme l'ex- 

 posant 3i est un nombre premier^ les diviseurs de^ ne pourront 

 être que de la forme ^2x-{-\ , et il n'y aura aucune exception, 

 attendu que a — 1 se réduit dans ce cas as — 1 = 1. Si Ton 

 considère en même temps que le nombre 2^ est de la forme f" — 2, 

 et qu'en conséquence les diviseurs de ^ doivent être de l'une des 

 formes 8;z4- 1 , ^n-^-j ^ on trouvera, en combinant ces dernières 

 formes avec la première 62 ^-!- 1 , que tout diviseur premier de udt 

 est nécessairement de l'une des formes 248^+1, 248^4-63. Or 

 Euler nous apprend (Mém. de Berlin, ann. 1772 , pag. 36) qu'après 

 avoir essayé tous les nombres premiers contenus dans ces formes , 

 jusqu'à 46339 , racine du nombre ^5 il n'en a trouvé aucun qui fût 

 diviseur de ^ ; d'où il faut conclure , conformément aune assertion 

 de Fermât , que le nombre 2^' — 1 = 2 147 483 647 est un nombre 

 premier. C'est le plus grand de ceux qui aient été vérifiés jusqu'à 

 présent. i'^ '- 1 ^ r_^ii±^ o^ 'o'V// ^ ^ -' 



Nous ne terminerons pas ce paragraphe , sans observer qu'Euler 

 est auteur des principaux théorèmes qui y sont contenus. Voyez 

 le ïom. I. des Novi Comment. Petrop, 



