214 THÉORIE DES NOMBRES. 



§, yi. Théorème contenant une loi de réciprocité qui 

 existe entre deux nombres premiers quelconques, 



(i64) JNous avons vu (n°. i35) que si m et w sont deux nombres 

 premiers quelconques ( impairs et inégaux) , les expressions abré- 

 gées { — j , { — j représentent Fune le reste de m~^ divisé par n , 



l'autre le reste de tz * divisé par m ; on a prouvé en même temps 

 que l'un et l'autre restes ne peuvent jamais être que + 1 ou — î. 



Cela posé , il existe une telle relation entre les deux restes i — J , 



( — j , que l'un étant connu, l'autre est immédiatement déterminé. 



Voici le théorème général qui contient cette relation. 



Quels que soient les nombres premiers m. et n ^ sHls ne sont pas 



tous deux de la forme 4 x — i , on aura toujours ( — J = ( — J, 



çt s'ils sont tous deux de la forme 4x— i , on aurai — j= — ( — \ 



Ces deux cas généraux sont compris dans la formule 

 n ^ , , lizi . "-HL ,m, 



e = (-^^ ' ' ' '-'■ 



m/ vn/ 



Pour développer les difFérens cas de ce théorème , il est néces- 

 saire de distinguer , par des lettres particulières , les nombres pre- 

 miers de la forme 4^4- 1 , et ceux de la forme àx — i . Nous désignerons 

 dans le cours de cette démonstration, les premiers par les lettres 

 ^, a, et', les seconds par les lettres B , b, C. Cela entendu , le 

 théorème que nous venons d'énoncer renferme les huit cas suivans ; 



I. Si Ton a (— ) = + i , il s'ensuit (— ) =+i 



}I. Si l'on a ( — ) = — i , il s'ensuit (— ;) = — t 

 ^ a^ \d 



