2i6 THÉORIE DES NOMBRES. 



quelconque, et a un nombre^, premier 4;2-{-i, on a toujours 



/— iVN /N\ a—i , 



( ) = (, — ) , parce que étant alors un nombre pair, Tex- 



Cl CL 2 i 7 



a — 1 a — i 



pression ( — N) * est la même chose que (N) * j au contraire b 

 étant un nombre premier 4e la forme 4/2 — i, on a toujours 



2^ Qu une expression telle que (^ j , c étant un nombre 



premier quelconque , est la même chose que le produit des deux 

 ( — ) • ( — J' ^^^ s°^^ ( — J ='^ Gi ( — )= ç> , le sens de ces exprès- 



c 1 c— 1 



sions indique assez qu'on peut faire M ' =Pc-{-7r,N^=Qc-{'(p, 



c 1 



donc le reste de (MN) " divisé par c, est le même que celui de 



(Fc + tt) (Qc + ç)^ lequel eslTr^ ; donc on a f ^ = f — ) . ( — \ 



Le même résultat s'appliquera également à un plus grand nombre 

 de facteurs. Il s'ensuit de ces observations , que les trois conditions 

 mentionnées , qui ne peuvent avoir lieu à la fois j sont : 



Q-(t)=-'> 0-&-^' O-O-^- 



Démonstration des cas If^ et T^. 

 (i66) Soit d'abord ^ = 1 , la seconde condition aura lieu d'elle- 

 même , et les deux autres seront (^) =—i, (-) = i.Celles-ci 

 Jie peuvent avoir lieu à-la-fois , donc 



IV. Si l'on a ^-^=-^i,il s'ensuit (-')= — i 



V. Si l'on a ^-^ = + i , il s'ensuit (^ = + i. 



Démonstration des cas 1 et II, 

 Soient donnés les nombres a et ^ , et supposons qu'on prenne 



